Si $x_{n+1}=f(x_n)$ y $x_{n+1}-x_n\to 0$ entonces $\{x_n\}$ converge

Question

Dejemos que $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ sea una función continua. Elige un punto cualquiera $x_0 \in [0,1]$ y definir una secuencia recursivamente por $x_{n+1}=f(x_n)$ . Supongamos que $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n+1}-x_n =0$ ¿converge esta secuencia?

Answer 1

La respuesta es SÍ - He arreglado la prueba de Hongyi:

Dejemos que $K$ sea el conjunto de límites subsecuentes de la secuencia $\{x_n\}$ . Entonces $K$ es compacto, y como $x_{n+1}-x_n\to 0$ , $K$ también está conectado. (Esto requiere algo más de trabajo.) Por lo tanto $K$ es de la forma $$ K=[a,b]\subset [0,1]. $$ Si $a=b$ entonces hemos terminado, ya que esto significa que la secuencia $\{x_n\}$ tiene un solo límite subsecuente, y por lo tanto converge.

A continuación demostraremos que $a<b$ implica que $f(x)=x$ en $[a,b]$ y, por tanto, la secuencia es finalmente constante. Esto contradice el hecho de que sus límites subsecuentes son todos los puntos de $[a,b]$ .

Supongamos que $f(x)\not\equiv x$ en $[a,b]$ y que $x_0\in(a,b)$ con $f(x_0)>x_0$ . (El caso $f(x_0)<x_0$ se trata de forma similar). Entonces existe $h>0$ , de tal manera que $$ f(x)-x\ge 0\quad\text{whenever}\quad x\in [x_0-h,x_0+h]\subset (a,b). $$ Desde $b$ es un punto límite de $\{x_n\}$ existe $x_{n_0}\in (x_0+h,1]$ , y el $n_0$ se puede elegir para que $$ \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert <h, \quad \text{when}\quad n\ge n_0. $$ Esto significa que, si $x_{n_0}$ está muy cerca de $b$ entonces $x_n$ , $n\ge n_0$ NO PUEDE ser más pequeño que $x_0$ ya que en todo el intervalo $[x-h,x+h]$ , $f(x_n)\ge x_n$ . Así, $a$ no puede ser un punto límite.

Answer 2

Sí. Deja que $I = \lim_{k \rightarrow \infty} I_k$ donde $I_k$ es el cierre de $\{x_k,x_{k+1},...\}$ . Tenga en cuenta que debido a que $x_{k+1}-x_k \rightarrow 0$ , $I$ está conectada, por lo tanto es un singleton o un intervalo. Si $I$ es un singleton, hemos terminado. Si $I$ es un intervalo $(x_-,x_+)$ entonces $f(x)=x$ en este intervalo. Entonces se deduce, a menos que $x_k$ es constante para un tamaño suficiente de $k$ que $x_k$ es estrictamente monótona en $k$ y, por tanto, que la secuencia debe converger a algún punto dentro de $I$ .

Answer 3

Estoy bastante seguro de que no tiene por qué converger.

Dejemos que $$H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$$

Definir $y_n = H_n \pmod{1}$ si $\lfloor H_n \rfloor$ es par, y $1-H_n \pmod{1}$ de lo contrario. Esta secuencia oscila entre 0 y 1 indefinidamente, por lo que no converge; aunque $y_{n+1} - y_n$ tiende a $0$ . Se da el caso de que la diferencia entre números armónicos distintos nunca es un número entero, según la Wikipedia, por lo que esta secuencia nunca duplica ningún valor.

Sólo tenemos que demostrar que podemos definir la continuidad $f: [0,1] \to [0,1]$ tal que $f(x_n) = x_{n+1}$ . Me he convencido de ello con un razonamiento bastante dudoso sobre los infinitesimales.