Solución del límite $\lim\limits_{x\to 0} \frac {e^{-1/x^2}}{x} $

Question

Pequeña pregunta, estoy tratando de resolver este límite pero no puedo entender este problema.

$$\lim_{x\to 0} \frac {e^{-1/x^2}}{x} $$

L'Hopital sólo parece hacerla más desordenada.

Probablemente sea bastante sencillo, me gustaría saber qué me falta.

Answer 1

Puedes escribir $t=\frac{1}{x}$ para que $t=\frac{1}{x}\to \infty $ como $x\to 0$ . Ahora el límite es $$ \lim_{t\to \infty} e^{-t^{2}}\cdot t=\lim_{t\to \infty} \frac{t}{e^{t^{2}}}=0 $$ porque $ e^{t^{2}} > t $ como $t\to \infty$

Answer 2

La función $$ f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2} & \text{if $x\ne0$}\\[6px] 0 & \text{if $x=0$} \end{cases} $$ es el ejemplo clásico de una función que no es la suma de sus series de Taylor en $0$ porque todas las derivadas en $0$ son $0$ . Por lo tanto, no es una sorpresa que l'Hôpital no funcione en este caso.

Sin embargo, se pueden hacer algunas transformaciones, por ejemplo, tratar de calcular $$ \lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^2} $$ que admite la sustitución $t=1/x^2$ que lo convierte en $$ \lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^t}=0 $$ Así, $$ \lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x}= \lim_{x\to0}x\frac{e^{-1/x^2}}{x^2}=0 $$

Answer 3

De la serie Maclaurin tenemos:

$$x\to 0\,:\;e^x\simeq1+x$$
Substituto $x$ por $\frac {-1}{x^2}$ y obtendrás:

$$\frac{-1}{x^2}\to0\Rightarrow x\to \pm\infty\,:\;e^{\frac {-1}{x^2}}\simeq1-\frac {1}{x^2}$$
Así que tenemos:

$$\lim_{x\to0}\frac{e^{\frac{-1}{x^2}}}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-1}{x^3}=0$$ Porque el grado del denominador es más que el grado del nominador