La divisibilidad de un caso particular de $\binom{x}{y}$ (cuando $(x,y) = 1$)

Question

Supongamos $x + 2y = k$ donde $k$ es el primer y $x > y > 0$.

Demostrar que $x|\binom{x}{y}$. Es decir, demostrar que $\binom{x}{y}$ es divisible por $x$.

El sólo conduce tengo son que, desde $x$ $y$ debe ser relativamente primos -- o bien $k$ no sería el primer -- en la expansión del coeficiente binomial:

$$\frac{(x)(x-1)\dots(x-y+1)}{(y)(y-1)\dots 1}$$, there is necessarily some value in $\{x-1 \puntos x-y+1\}$ that is divisible by $s$. This is true, because given any consecutive $s$ numbers, at least one must be divisible $s$, and we know that $x$ no es ese número.

Edit: al Parecer, la respuesta está aquí Cuando es $\binom{n}{k}$ divisible por $n$?

Yo no estoy viendo cómo el resultado es obvio, sin embargo, para el caso particular de que $(n,k) = 1$.

Answer 1

Podemos usar esta identidad agradable $$ \binom{x}{y}\binom{x-y}{h} = \binom{x}{h}\binom{x-h}{y} $$ obtener $$ \binom{x}{y}y = \binom{x}{y}\binom{y}{1} = \binom{x}{1}\binom{x-1}{x-y} = x\binom {x-1} {XY}. $$ Ahora ver que $x$ divide el lado derecho, por lo que debe dividir el lado izquierdo también. Pero desde $(x,y)=1$ $x$ debe dividir $\binom{x}{y}$.