En la literatura, me he encontrado con el siguiente problema.
Supongamos $G$ es un grupo y $H$ es su subgrupo. $N_G(H)$ es el normalizador de la $H$$G$. Un número $c(h)$ se define para cada $h$ $H$ de esta forma:
- primero nos descomponer $G$ con coset de $N_G(H)$: $G=\bigcup_{\alpha}s_\alpha N_G(H)$,
- $c(h)$ se define a ser $c(h)=\#\{s_\alpha,s_\alpha^{-1}hs_\alpha\in H\}$ donde $\#$ significa que el número de elementos de un conjunto.
Entonces, se afirma que $$c(h)=\frac{|G|}{\#[h]_G}/\frac{|N_{G}(H)|}{\#[h]_{N_G(H)}}=\frac{|C_G(h)|}{|C_{N_G(H)}(h)|},$$ where $C_G(h)$ ($C_{N_G(H)}(h)$) is centralizer of $h$ in $G$ ($N_G(H)$) and $[h]_G$ ($[h]_{N_G(H)}$) is conjugate class in $G$ ($N_G(H)$) containing $h$.
No puedo probar que estos dos números son iguales y no se puede encontrar un contraejemplo. Alguien me puede ayudar en esto?
