Mostrar desigualdad

Question

Quiero definir cómo definir el$f(x)$ para este tipo de pregunta

Para probar la desigualdad utilice el teorema del valor medio

ps

Cómo elegir$$e^x \ge 1+x ,\ x \in \mathbb{R}$ para mostrar esa desigualdad y hacer

$f(x)$ $ Es continua y diferenciable

Answer 1

Bernoulli la Desigualdad dice que para $n\ge1$ $x\ge-n$ $$ \left(1+\frac xn\right)^n\ge1+x $$ Desde $$ e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n $$ obtenemos que para todos los $x\in\mathbb{R}$, $$ e^x\ge1+x $$

---

Deje $f(x)=e^x-x$. Luego de algunos $\xi$$0$$x$, el Valor medio Teoremadice $$ \frac {e^x-x)-1}{x 0}=e^\xi-1 $$ Es decir, $$ e^x-1-x=x(e^\xi-1) $$ Tenga en cuenta que $x\gt0\iff e^\xi-1\gt0$; por lo tanto, $$ e^x-1-x\ge0 $$