¿Son abiertos los subgrupos cerrados de medida positiva?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo Hausdorff localmente compacto y $H \le G$ un subgrupo cerrado con medida de Haar positiva. Es $H$ ¿abierto entonces?

Para los grupos de Lie esto debería ser cierto (ya que la medida positiva da la dimensión completa) pero me pregunto si el resultado se puede generalizar.

Answer 1

Si $H$ es $\sigma$ -finito, entonces sí. En ese caso, por la regularidad interna de la medida de Haar para $\sigma$ -conjuntos definidos de Borel, existe un conjunto compacto $K \subset H$ con $\mu(K) > 0$ . Entonces considere la función

$$f = \chi_K \ast \chi_K \colon x \mapsto \int_{G} \chi_K(y^{-1}x)\chi_K(y)\,d\mu(y).$$

Desde $\mu(K) < \infty$ , $f$ está bien definida y es continua, y como $\mu(K) > 0$ , $f$ no se desvanece de forma idéntica.

$$\int_{G} f(x)\,d\mu(x) = \mu(K)^2 > 0.$$

Pero $f(x) \neq 0$ implica que hay un $y \in K$ con $y^{-1} x \in K$ es decir $x \in yK \subset K\cdot K \subset H$ Así que $f^{-1}(\mathbb{R}\setminus \{0\})$ es un subconjunto abierto no vacío de $H$ . Cualquier subgrupo con interior no vacío es abierto en un grupo topológico.

Si $H$ no es $\sigma$ -finito, entonces $H$ no tiene por qué estar abierto. Dejemos que $\mathbb{R}_D$ sea el grupo $(\mathbb{R}, +)$ dotado de la topología discreta, y sea $G = S^1 \times \mathbb{R}_D$ , donde $S^1$ lleva la topología estándar. Entonces $G$ es localmente compacto, y el subgrupo $H = \{1\} \times \mathbb{R}_D$ tiene una medida positiva ( $\mu(H) = \infty$ ), pero no está abierto.

Answer 2

Acabo de encontrar Teorema de Steinhaus . Establece que para $A \subseteq G$ con $\mu(A)>0$ tenemos que $AA^{-1}$ es una vecindad de la unidad. Así que toma $A:=H$ . Entonces $HH^{-1}=H$ tiene un interior no vacío, por lo tanto es abierto.