La probabilidad de conseguir al menos una bola roja o verde

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Tenemos 2 bolsas que contienen cada una 3 amarillas, 4 azules, 5 rojas, 6 verdes y 2 bolas negras. En un sorteo simultáneo, ¿cuál es la posibilidad de conseguir al menos una bola roja o una verde?

Mi enfoque:
Encuentra la probabilidad de conseguir al menos una bola verde:
$( \frac {14}{20})^2 = ( \frac {7}{10})^2= \frac {49}{100}$ es la probabilidad de no obtener una bola verde en el sorteo, por lo tanto $1 - \frac {49}{100} = \frac {51}{100}$ es la probabilidad de conseguir al menos 1 bola verde.

Encuentra la probabilidad de conseguir al menos 1 bola roja:
$( \frac {15}{20})^2 = ( \frac {3}{4})^2 = \frac {9}{16}$ es la probabilidad de no conseguir una bola roja en el sorteo, por lo tanto $1 - \frac {9}{16} = \frac {7}{16}$ es la probabilidad de conseguir al menos 1 bola roja.

Por lo tanto, lo que buscamos es la suma de estas probabilidades, es decir.
$ \frac {51}{100} + \frac {7}{16} = \frac {816 + 700}{1600} = \frac {1516}{1600} = \frac {379}{400}$

Pero mis notas dicen $ \frac {319}{400}$
¿Esto es un error de imprenta o mi solución está mal?

Answer 1

Tu solución es errónea porque olvidaste restar la probabilidad conjunta de dibujar una bola roja y uno verde. Sin embargo, aquí está la mejor manera de hacer este problema.

La probabilidad de que al menos $1$ La bola roja o verde es $1$ menos la probabilidad de que no haya una bola roja o verde en ninguno de los sorteos. Por lo tanto:

$1-( \frac {9}{20} \cdot\frac {9}{20}) = 1- \frac {81}{400}= \frac {319}{400}$

¿Tiene sentido?

Answer 2

Puede utilizar el conteo por complemento para simplificar enormemente este problema. La declaración original pide al menos 1 rojo ( $ \geq 1$ rojo) O al menos 1 verde ( $ \geq 1$ verde).

Condición:

$ \geq 1$ verde O $ \geq 1$ rojo

Negando esto, tenemos casos en los que esta condición es violada (por la Ley de DeMorgan):

$0$ verde Y $0$ rojo

Hay $20$ en total para cada bolsa. Si eliminas las selecciones de rojo y verde, te quedas con $9$ bolas para elegir de cada bolsa para una probabilidad de $ \frac {9}{20}$ * $ \frac {9}{20}$ = $ \frac {81}{400}$ .

Los casos en los que esto NO es violado, entonces, es $ \frac {400-81}{400}$ = $ \frac {319}{400}$

Answer 3

Debes restar la probabilidad de obtener exactamente una bola verde y una roja, ya que esto se contó dos veces.

La probabilidad de que la bola 1 sea verde y la bola 2 sea roja es $ \frac6 {20} \cdot\frac5 {20}= \frac {30}{400}$

La probabilidad de que la bola 2 sea verde y la bola 1 sea roja es la misma, así que en total estás restando $ \frac {60}{400}$ .