Una aclaración sobre el Borel$\sigma$ - álgebra en$\mathbb{R}^{2}$

Question

Deje $B_{2}$ ser el Borel-$\sigma$ álgebra en $\mathbb{R}^{2}$, es decir, el más pequeño de $\sigma-algebra$ que contiene todos los subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^{2}$. Deje $B_{1}$ será el habitual Borel-$\sigma$ álgebra en $\mathbb{R}$.

(1) Es $B_{2}$ igual a $B_{1}\times B_{1}$? Probar o Refutar.

(2) ¿Qué acerca de la terminación de $B_{2}$$B_{1}\times B_{1}$? Son ellos mismos? Probar o Refutar.

He estado tratando de esta tranquila en algún momento, pero han sido incapaces de hacerlo. He leído este producto medida del libro "análisis Real para los Estudiantes de Posgrado-R. Bass" y esto es un problema desde el mismo libro.

Lo que sé es dado dos medir el espacio $(X,A,\mu)$$(Y,B,\nu)$, el producto sigma álgebra denotado por $A\times B$ sobre el espacio $X\times Y$, se define a los más pequeños de sigma álgebra que contiene el medibles rectángulos, donde el medibles rectángulos son subconjuntos de a $X\times Y$ de la forma $a\times b$(donde $a\in A, b\in B)$.

Ahora sé que el problema con este producto esta medida es que, incluso si $\mu$ $\nu$ se completa, el producto de la medida puede no ser completa.

El libro ha dado un ejemplo muy común de tomar $\mathbb{R}^{2}$ y la medida de lebesgue $m$$\mathbb{R}$. Por lo $m\times m$ es el producto de la medida y nos muestra que esta medida no es completa, mostrando una nula establece que no está en el producto sigma álgebra. Y me comenta que las dos dimensiones de lebesgue medida puede ser fácilmente construido tomando la finalización de este producto medida $m\times m$.

También sé que Lebesgue sigma álgebra en $\mathbb{R}$ es básicamente la finalización de la Borel $\sigma$-álgebra.

Para la primera parte no tengo idea. Pero para la segunda parte creo que la finalización de $m\times m$ es lo mismo que$B_{1}\times B_{1}$$B_{2}$. Pero entonces tengo que demostrar es que no tengo idea acerca de.

Espero conseguir una elaborada explicación, por lo que puedo entender este concepto con claridad. Gracias de antemano.

Answer 1

Comentario acerca de su notación: Usualmente $\times$ significa que el producto Cartesiano. Su tercer párrafo deja claro lo que están pidiendo es:

Qué $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2) = \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ?

La segunda igualdad es sólo una declaración acerca de lo que la notación $\otimes$ medios.

Respuesta: Sí. Un esquema de la prueba es:

• Para $D \subset \mathbb{R}$ abierto, $D \times \mathbb{R}$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$
• La colección de conjuntos de $\{D \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}) \,\, | \,\, D \times \mathbb{R} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\}$ $\sigma$- campo, y ya que contiene los bloques abiertos, $D \times \mathbb{R} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ para cualquier conjunto de Borel $D$.
• Escribir para cualquier rectángulo de conjuntos de Borel $D_1 \times D_2 = (D_1 \times \mathbb{R}) \cap (\mathbb{R} \times D_2)$. Por lo tanto,$\mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$, lo que implica $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$
• Utilice el hecho de que $\mathbb{R}^2$ tiene una contables base de la forma $\{U_1 \times \mathbb{R} \,\,,\,\, \mathbb{R} \times U_2\,\,\, | \,\,\, U_i \text{ open } \subset \mathbb{R}\quad i = 1,2\}$ a mostrar el abierto de conjuntos de $\mathbb{R}^2$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$ - - - dando a $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$

Para tu segunda pregunta, a ver esta respuesta.