¿Cómo puede ser negativa la suma de cuadrados?

Question

Si $a,b,c,d$ son las raíces de la ecuación $x^4-Kx^3+Kx^2+Lx+M=0$ , donde $K,L,M$ son números reales, entonces el valor mínimo de $a^2+b^2+c^2+d^2$ ¿es?

Mi respuesta:

$\sum a=K,\ \sum ab=K\implies$

$a^2+b^2+c^2+d^2=K^2-2K=(K-1)^2-1$ . Para $K=1$ , $(a^2+b^2+c^2+d^2)_{min}=-1$

Esto coincide con la respuesta de hecho, pero ¿cómo puede la suma de cuadrados resultar en NEGATIVO .

¿Cuál es la intuición detrás de esta respuesta está mal o voy por el camino equivocado.

Answer 1

Considere $K=1,$ es decir, $$f(x)=x^4-x^3+x^2+Lx+M.$$ Tenemos que

$$f''(x)=2(6x^2-3x+1).$$ Tenga en cuenta que $$f''=0$$ no tiene raíces reales. Así, $f'=0$ tiene una raíz real y por lo tanto $f=0$ tiene como mucho dos raíces reales. En otras palabras, al menos dos raíces de la ecuación $$f(x)=0$$ son complejos. Por tanto, no hay contradicción con el hecho de que la suma de los cuadrados de las raíces sea $-1.$

Si $L=M=0$ entonces las raíces son $0$ (doble) y $\dfrac{1\pm\sqrt {-3}}{2}=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.$ Tenemos que

$$0^2+0^2+\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)^2=-1.$$

Answer 2

Una pista:

las raíces del cuártico pueden ser números complejos y en este caso tenemos parejas de raíces conjugadas de la forma $\alpha \pm i \beta$ y: $$ (\alpha+i\beta)^2 +(\alpha-i\beta)^2=2\alpha^2-2\beta^2 $$