Puede $\sqrt{n} + \sqrt{m}$ ser racionales si ninguno de los dos $n,m$ ¿son cuadrados perfectos?

Question

¿Puede la expresión $\sqrt{n} + \sqrt{m}$ ser racionales si ninguno de los dos $n,m \in \mathbb{N}$ son cuadrados perfectos? No parece probable, la única forma en que podría suceder es si por ejemplo $\sqrt{m} = a-\sqrt{n}, \ \ a \in \mathbb{Q}$ , lo cual no creo que sea posible, pero ¿cómo mostrarlo?

Answer 1

Al cuadrarlo obtenemos, $m=a^2+n-2a\sqrt n\implies \sqrt n=\frac{a^2+n-m}{2a}$ que es racional

Answer 2

Si $\sqrt{n} + \sqrt{m}$ es racional, entonces como
( $\sqrt{n} + \sqrt{m})(\sqrt{n} - \sqrt{m}) = n - m,$
$\sqrt{n} - \sqrt{m}$ es racional. Así,
$\sqrt{n}, \sqrt{m}$ son racionales, n,m son cuadrados.

Answer 3

Supongamos que $m$ es un número entero no cuadrado. Entonces $\sqrt{m}$ es irracional, y si $x=\sqrt{m}+\sqrt{n}$ entonces

$$(x-\sqrt{m})^2=x^2-2x\sqrt{m}+m=n$$

O

$$\frac{x^2+m-n}{2x}=\sqrt{m}$$

Si $x$ es racional, entonces el LHS también es racional. Sin embargo, el lado derecho es irracional, lo cual es una contradicción, por lo que $x$ es irracional.

El mismo argumento que aquí y aquí . Habría que ponerlo en las FAQ :-)

Answer 4

Buena manera de ver piensa

Supongamos que, $$(\sqrt{n}+\sqrt{m})=\frac{p}{q}$$ Entonces tenemos $$(\sqrt{n}+\sqrt{m})=\frac{p}{q}\in\Bbb Q \implies n+m+2\sqrt{nm} =(\sqrt{n}+\sqrt{m})^2 =\frac{p^2}{q^2}\in\Bbb Q\\\implies \sqrt{nm} =\frac{n+m}{2}+\frac{p^2}{2q^2}\in\Bbb Q $$

Pero si $ nm $ no es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt{nm}\not \in\Bbb Q ,$ (Esto se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema fundamental de la teoría de números: Descomposición en números primos) Por lo tanto, en este caso tenemos $$\sqrt{n}+\sqrt{m}\not \in\Bbb Q$$

Nota: $~$ 1. $mn$ puede ser un cuadrado perfecto aunque ninguno de los dos $n$ ni $m$ es un cuadrado perfecto. (véase el ejemplo siguiente)

2. Todavía podemos tener $\sqrt{n}+\sqrt{m}\not\in \Bbb Q$ aunque $mn$ es un cuadrado perfecto (véase el ejemplo siguiente)

Ejemplo : $n= 3$ y $ m = 12$ no son cuadrados perfectos y $ nm = 36 =6^2.$ Además, $$\sqrt{n}+\sqrt{m} = \sqrt{3}+\sqrt{12} =3\sqrt 3 \not \in\Bbb Q$$

Answer 5

Es fácil demostrar que si el resultado es racional, tiene que ser natural.

Una pista: $$m=(\lfloor\sqrt{m}\rfloor+\epsilon)^{2}=\lfloor\sqrt m \rfloor ^2+2\epsilon \lfloor\sqrt m \rfloor + \epsilon^2$$ $$n=(\lceil \sqrt n \rceil-\epsilon)^2=\lceil \sqrt n \rceil^2-2\epsilon\lceil \sqrt n \rceil+\epsilon^2$$ Reste estos dos entre sí y demuestre que $\epsilon$ tiene que ser racional.