No homomorphism de $Z_{16}\oplus Z_{2}$ a $Z_{4}\oplus Z_{4}$.

Question

Por algunas razones, homomorphism es muy duro espacio para mí para hacer mejoras. He estado golpeando la pared de ladrillo de casi 2 horas.

Demostrar que no homomorphism existe de $Z_{16}\oplus Z_2$ a $Z_4\oplus Z_4$.

Asumir un homomorphism $\phi$ existe de $Z_{16}\oplus Z_2$ a $Z_4\oplus Z_4$. A continuación, $\phi$ es un isomorfismo.

Tenga en cuenta que el $\left | \ker \phi \right |=2$ El $\ker \phi$ también es un subgrupo normal de $Z_{16}\oplus Z_{2}$. Queremos posible subgrupo normal de orden 2. I. e., 2 elementos en cada uno de los subgrupos normales.

Por Lagrange del teorema, el orden de cada elemento en un grupo se divide el orden de un grupo, de modo que la posible orden de los elementos son 1 o 2. Si los elementos de orden 1, entonces el Ker \phi no puede tener 2 elementos.

Por lo tanto, $\ker\phi$ = $\left \{ (0,0),(8,0) \right \}$ ,$\left \{ (0,0),(0,8) \right \}$,$\left \{ (0,0),(8,1) \right \}$, posiblemente.

Por el Primer teorema de isomorfismo:

$\phi: Z_{16}\oplus Z_2 \rightarrow Z_2\oplus Z_2$

$\Psi: G/\ker \phi \rightarrow \phi\left ( Z_16\oplus Z_2 \right )=Z_2\oplus Z_2$

$g\ker \phi \mapsto \phi(g)=\Psi(g\ker \phi)$

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Edit: sé que $(2,0)$ orden $8$$Z_{16}\oplus Z_{2}$, pero los elementos en $Z_{4}\oplus Z_{4}$ no tiene orden de $8$ que habría resuelto la cuestión en el principio. Pero me gustaría una ruta diferente.

Answer 1

Deje $f:Z_{16}\times Z_2\to Z_4\oplus Z_4$ ser un mapa. El subgrupo $f(Z_{16})$ es cíclica, por lo que tiene en la mayoría de las $4$ elementos (como $4$ es el máximo orden de un elemento en el codominio de $f$) Ahora la imagen de $f$ es igual a la de los subgrupos $f(Z_{16})+f(Z_2)$, que en la mayoría de los $8$ elementos. El mapa de $f$ es, por tanto, no surjective.

Answer 2

En primer lugar, ver a continuación a observar que, isomorfismo $\phi$ conserva el orden de un elemento:

Isomorfismo $f$ conserva el orden de un elemento?

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Supongamos por el contrario que un homomorphism existe, y considerar la inducida por el isomorfismo $\Psi$, tal como se han definido.

El grupo $\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_4$ tiene exactamente $12=16-4$ elementos de orden $4$; es decir, todos los elementos que no se encuentran en el sub-grupo de $\{0, 2\} \oplus \{0, 2\}$.

Por otro lado $\mathbb{Z}_{16} \oplus \mathbb{Z}_2$ sólo ha $6=8-2$ elementos de orden $4$; es decir, todos los elementos de la sub-grupo de $\{ 0, 4, 8, 12 \} \oplus \{ 0, 2 \}$ que no se encuentran en el sub-grupo de $\{0\} \oplus \{0, 2\}$.

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Así que el quoteint grupo apareció en la inducida por el isomorfismo $\Psi$ sólo tienen en la mayoría de $6$ elementos de orden $4$, lo cual es una contradicción.