Por algunas razones, homomorphism es muy duro espacio para mí para hacer mejoras. He estado golpeando la pared de ladrillo de casi 2 horas.
Demostrar que no homomorphism existe de $Z_{16}\oplus Z_2$ a $Z_4\oplus Z_4$.
Asumir un homomorphism $\phi$ existe de $Z_{16}\oplus Z_2$ a $Z_4\oplus Z_4$. A continuación, $\phi$ es un isomorfismo.
Tenga en cuenta que el $\left | \ker \phi \right |=2$ El $\ker \phi$ también es un subgrupo normal de $Z_{16}\oplus Z_{2}$. Queremos posible subgrupo normal de orden 2. I. e., 2 elementos en cada uno de los subgrupos normales.
Por Lagrange del teorema, el orden de cada elemento en un grupo se divide el orden de un grupo, de modo que la posible orden de los elementos son 1 o 2. Si los elementos de orden 1, entonces el Ker \phi no puede tener 2 elementos.
Por lo tanto, $\ker\phi$ = $\left \{ (0,0),(8,0) \right \}$ ,$\left \{ (0,0),(0,8) \right \}$,$\left \{ (0,0),(8,1) \right \}$, posiblemente.
Por el Primer teorema de isomorfismo:
$\phi: Z_{16}\oplus Z_2 \rightarrow Z_2\oplus Z_2$
$\Psi: G/\ker \phi \rightarrow \phi\left ( Z_16\oplus Z_2 \right )=Z_2\oplus Z_2$
$g\ker \phi \mapsto \phi(g)=\Psi(g\ker \phi)$
Cualquier ayuda es muy apreciada.
Edit: sé que $(2,0)$ orden $8$$Z_{16}\oplus Z_{2}$, pero los elementos en $Z_{4}\oplus Z_{4}$ no tiene orden de $8$ que habría resuelto la cuestión en el principio. Pero me gustaría una ruta diferente.
