Suma: $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(2n)!}$

Question

Yo estoy luchando con la siguiente suma:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{(2n)!}$$

Sé que el resultado final va a utilizar la función de error, pero no el uso de cualquier otro no-funciones elementales. Estoy bastante seguro de que no telescopio, y ni siquiera estoy seguro de cómo obtener $\operatorname {erf}$ fuera de eso.

Puede alguien por favor me das una pista? No hay respuestas, por favor.

Answer 1

He aquí una sugerencia. Escribe la fracción como $\int_0^\infty\frac{x^n}{(2n)!}e^{-x}dx$. La suma es entonces $\int_0^\infty\cosh\sqrt{x}e^{-x} \, dx=\int_0^\infty 2y\cosh y e^{-y^2} \, dy$. Se puede tomar desde allí?

Answer 2

Uno podría tenga en cuenta que:

$$\frac{n!}{(2n)!}=\frac{\sqrt\pi}{4^n\Gamma(n+1/2)}$$

De hecho, esto hace que su serie es un caso especial de la función siguiente:

$$f_\alpha(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{\Gamma(n+\alpha)}$$

Con $S=\sqrt\pi f_{1/2}(1/4)$.

Maravillosamente, este problema sirve como una buena introducción para las fracciones de los derivados. Vamos a definir aquí los siguientes:

$$\frac{\mathrm d^\alpha}{\mathrm dx^\alpha}f(x)=\frac1{\Gamma(1-\{\alpha\})}\frac{\mathrm d^{\lceil\alpha\rceil}}{\mathrm dx^{\lceil\alpha\rceil}}\int_0^x(x-t)^{-\{\alpha\}}f(t)~\mathrm dt$$

donde $\lceil\alpha\rceil$ es el límite máximo de la función y $\{\alpha\}=\alpha-\lfloor\alpha\rfloor$ es la parte fraccionaria de $\alpha$. De la definición anterior, se puede deducir que

$$\frac{\mathrm d^\alpha}{\mathrm dx^\alpha}x^\beta=\frac{x^{\beta-\alpha}\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}$$

A partir de esto, uno puede deducir que

$$\frac{x^n}{\Gamma(n+\alpha)}=x^{1-\alpha}\frac{\mathrm d^{1-\alpha}}{\mathrm dx^{1-\alpha}}\frac{x^n}{n!}$$

Por lo tanto, nos encontramos con que

$$f_\alpha(x)=x^{1-\alpha}\frac{\mathrm d^{1-\alpha}}{\mathrm dx^{1-\alpha}}e^x$$

En el caso particular de $\alpha=1/2$,

$$\frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}}e^x=\frac1{\Gamma(1/2)}\int_0^x(x-t)^{-1/2}e^t~\mathrm dt$$

Deje $x-t=u^2$ para obtener

$$\frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}}e^x=\frac1{\Gamma(3/2)}\int_0^{\sqrt x}u^2e^{x-u^2}~\mathrm du$$

Con lo cual la relación con la función de error es inmediata.

El caso general para $f_\alpha(x)$ queda como crédito adicional para el lector con la sugerencia adicional que Gamma incompleta funciones son recomendados.

Answer 3

La serie puede ser escrita en términos de la función Gamma Incompleta. Como señaló Simplemente Hermoso Arte que hemos $$\sum_{n\geq0}\frac{n!}{\left(2n\right)!}=\sum_{n\geq0}\frac{\Gamma\left(1/2\right)}{4^{n}\Gamma\left(n+1/2\right)}$$ $$=1+\frac{1}{4}\sum_{n\geq0}\frac{\Gamma\left(1/2\right)}{4^{n}\Gamma\left(n+1+1/2\right)}=1+\frac{1}{4}\sum_{n\geq0}\frac{1}{4^{n}\left(1/2\right)_{n+1}}$$ where $\left(x\right)_{n}=\Gamma\left(x\right)/\Gamma\left(x+n\right)$ is the Pochhammer symbol and since $$\gamma\left(a,z\right)e^{z}z^{-a}=\sum_{n\geq0}\frac{z^{n}}{\left(a\right)_{n+1}},\,a\neq-k,\,k\in\mathbb{N}$$ we have $$\sum_{n\geq0}\frac{n!}{\left(2n\right)!}=\color{red}{1+\frac{e^{1/4}\gamma\left(1/2,1/4\right)}{2}}\approx \color{blue}{1.5923}$$

Answer 4

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{n = 0}^{\infty}{n! \over \pars{2n}!} & = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty}{\Gamma\pars{n} \over \pars{n - 1}!}\, {\Gamma\pars{n + 1} \over \Gamma\pars{2n + 1}} = 1 + \sum_{n = 0}^{\infty}{1 \over n!}\,\ \overbrace{% {\Gamma\pars{n + 1}\Gamma\pars{n + 2} \over \Gamma\pars{2n + 3}}} ^{\ds{\substack{\ds{=\ \mrm{B}\pars{n + 1,n + 2}.}\\[1mm] \ds{\mrm{B}:\ Beta\ Function}}}} \\[5mm] & = 1 + \sum_{n = 0}^{\infty}{1 \over n!}\ \overbrace{% \int_{0}^{1}t^{n}\pars{1 - t}^{n + 1}\,\dd t}^{\ds{\mrm{B}\pars{n + 1,n + 2}}}\ =\ 1 + \int_{0}^{1}\pars{1 - t}\sum_{n = 0}^{\infty} {\bracks{t\pars{1 - t}}^{\,n} \over n!}\,\dd t \\[5mm] & = 1 + \int_{0}^{1}\pars{1 - t}\expo{t\,\pars{1 - t}}\,\dd t = 1 + \int_{-1/2}^{1/2}\pars{{1 \over 2} - t}\exp\pars{{1 \over 4} - t^{2}}\,\dd t \\[5mm] & = 1 + \expo{1/4}\ \overbrace{\int_{0}^{1/2}\expo{-t^{2}}\,\dd t} ^{\ds{{1 \over 2}\,\root{\pi}\,\mrm{erf}\pars{1 \over 2}}}\qquad \pars{~\mrm{erf}:\ Error\ Function~} \\[5mm] & = \bbx{1 + {1 \over 2}\,\root{\pi}\expo{1/4}\,\mrm{erf}\pars{1 \over 2}} \approx 1.5923 \end{align}