Por qué se refieren a los elementos en esta extraña manera?

Question

A menudo, mientras que la lectura en Jacobson Básica del libro de texto de Álgebra, lo veo en referencia a los elementos de un conjunto en particular, de manera extraña.

En lugar de decir por ejemplo "vamos a $x_1,\ldots,x_n$ ser elementos de $S$", él dice que vamos a $i \mapsto x_i$ ser un mapa de $\{1,\ldots,n\}$ a $S$.

¿Por qué hace esto? Es sólo por el rigor fines?

Añadido: aquí está una de concreto.

Para cualquier anillo de $R$ y cualquier entero positivo $r$ existe un anillo de $R[x_1,\ldots,x_r]$ con la siguiente "universal" de la propiedad. Si $S$ es cualquier anillo y $\eta$ es un homomorphism de $R$ a $S$ $i\mapsto u_i$ es un mapa de $\{1,\ldots,r\}$ a $S$, entonces existe una única extensión de $\eta$ a un homomorphism de $R[x_1,\ldots,x_r]$ a $S$ envío de $x_i$ a $u_i$, $1\le i \le r$.

El otro está en la página $69$ (primer volumen) cuando se habla acerca de los grupos.

Answer 1

El asunto es que la singularidad de la extensión, como se afirma en el libro. Si usted no tiene un mapa de $i\mapsto u_i$ para comenzar con, usted no podría hacer tal afirmación. Lo que es más importante, el aviso de que el mapa de $i\mapsto u_i$ no está obligado a ser inyectiva. La singularidad de reclamo sigue siendo cierto.