Holomorphic y funciones analíticas.

Question

He leído esto en la actualidad (fuente: Wikipedia):

El hecho de que todos los holomorphic funciones son complejas analíticas funciones, y viceversa, es una de las principales teorema en el análisis complejo.

Hay un resultado similar en el análisis real?

Answer 1

No. "Holomorphic" significa "complejo diferenciable en una vecindad de un punto", "analítica" significa "serie de Taylor en un punto converge a la función en un barrio de ese punto".

Para el análisis real de la analógicas para holomorphic sería "real diferenciable en una vecindad de un punto", pero esta condición es demasiado débil para implicar a la última. E. g. hay funciones que son solo una vez diferenciable, pero no dos veces, e incluso infinitamente diferenciable funciones diferenciables por todas partes todavía analítica de la nada.

Answer 2

Vale la pena agregar a la respuesta anterior que hay un teorema que dice que "holomorphic" puede ser ambiguo entre "diferenciable de una vez" y "infinitamente diferenciable a menudo" (es decir, en el complejo análisis de la anterior identidad de holomorphic y analítica también significa que el complejo-diferenciable en un barrio implica complejo-suave-en-que-barrio).

Sin embargo también existen funciones que se $C^\infty(\mathbb R^n, \mathbb R)$ y no analítica. El ejemplo más común es $$f(x) = \exp(-1/x)\text{ if } x > 0\text{ else } 0.$$ By induction the derivatives of $\exp(-1/x)$ have the form $e^{-1/x} P_n(1/x)$ for polynomial $P_n$, since we start out with that form $P_0 = 1$ and the derivative gives a simple recursive formula to calculate the next polynomial $P_{n+1}(u) = u^2~P_n(u) + P_n'(u)$ for a new polynomial. But $\lim_{u\to\infty} e^{-u}P_n(u) = 0$ and hence $\lim_{x\to0^+}f^{(n)}(x) = 0$ for all $n$, so all derivatives are continuous at the origin and this is $C^\infty(\mathbb R, \mathbb R)$ at $x=0$. However it is not analytic at $x=0$ precisely because the Taylor series at $x=0$ is the zero function, and $f$ no es el cero de la función.