Intuitiva razón por la $\sqrt[n]n\to 1$$n\to\infty$?

Question

Somos conscientes de que el límite de $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n = 1; $$ es allí cualquier geométricas o de lo contrario, la razón intuitiva para ver por qué este límite se mantiene?

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Edit: voy a añadir un poco de contexto, ya que esta pregunta anteriormente había puesto en espera, y creo que una de las principales razones fue que era poco motivados. Desde teorema 8.1 de Bebé Rudin, supongamos que la serie $$ \sum_{n=0}^\infty c_nx^n $$ converge para $|x|<R$, y definir $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_nx^n \qquad (|x|<R). \etiqueta{1} $$ Entre otras conclusiones, la función de $f$ es diferenciable en a $(-R,R)$, y $$ f'(x) = \sum_{n=0}^\infty nc_n x^{n-1} \qquad (|x|<R). \etiqueta{2} $$ Rudin utiliza el hecho de que $\sqrt[n]n\to 1$ $n\to\infty$ a justificar que la serie en $(1)$ y la serie en $(2)$ tienen el mismo radio de convergencia. Reconocí el límite, pero es una agradable combinación de $n$ e las $n$th-raíz, que pensé que debe haber alguna buena forma intuitiva de entender, por lo tanto esta pregunta.

Answer 1

$$n^{1/n} = \exp\left(\frac{\log(n)}n\right)$$ $\log(n)$ grows, but very slowly, slower than $n$ or any positive power of $n$. So $\log(n)/n \to 0$ as $n \to \infty$, and $n^{1/n} \a \exp(0) = 1$.

Answer 2

Si usted sabe que la media Aritmética-Media Geométrica de la Desigualdad, entonces usted puede ver que

$$1\le\sqrt[n]n\le{\sqrt n+\sqrt n+1+\cdots+1\over n}={2\sqrt n+(n-2)\over n}=1+{2\over\sqrt n}-{2\over n}$$

y el Teorema del encaje le da el límite de $\sqrt[n]n\to1$.

Answer 3

Aquí el problema es que $n \rightarrow \infty$, pero para cualquier fija $x > 0$ tenemos $x^{1/n} \rightarrow 1$. Consideren $n^{1/n}$ tienes que pedir que se "gana": el $n$ en la base o el $1/n$ en el exponente. Pensar acerca de esto, podría ayudar a comparar, digamos, $(2^n)^{1/n}$. Esto tiende a (y es igual a) $2$. El exponente de $1/n$ tiene el poder de tomar un gran número de como $2^n$ y la reducen a una constante. Desde $n$ es mucho, mucho menor que $2^n$, se podría esperar entonces que el poder de la $1/n$ "ganar" en la final, dando un resultado de $1$. Esto no es una prueba, pero se da el derecho a la intuición.

Answer 4

Si "la razón intuitiva" contiene los argumentos que son naturales, entonces, la siguiente puede ser de su interés.

Un argumento recurrente acerca de la convergencia de las secuencias a través de subsecuencias. Por ejemplo, para ver que $\sqrt[n]{a}$ debe converger a $1$ si converge en todo (que lo hace, ya que está disminuyendo) notificación de que $\sqrt[2n]{a}$ debe convergen al mismo límite de $L$, ya que es una larga. Pero $(\sqrt[2n]{a})^2=\sqrt[n]{a}$, y por lo tanto $L^2=L \implies L=1$, dado que es evidente que no puede ser $0$.

Esto es solo para ejemplificar natural argumento que comúnmente se aplica. Tratando de aplicar esta directamente en el caso de $n^{1/n}$ (tomando el subsequence $2n$) tiene problemas, ya que el $\sqrt[n]{2}$ será $1$. Por lo tanto, debemos tomar una larga que está aumentando más rápidamente. Es natural considerar a $n^2$. Tenemos entonces que, si $n^{1/n}$ converge, entonces $n^{2/n^2}=((n^{1/n})^{1/n})^2$ converge al mismo límite. Pero desde $n^{1/n}$ se supone que para ser convergente, tenemos que para suficientemente grande $n$: $$1<((n^{1/n})^{1/n})^2 < ((L+1)^{1/n})^2.$$ Por el teorema del sándwich, $n^{2/n^2}$ luego converge a $1$, y por lo tanto también lo hace $n^{1/n}$. De hecho, esta es una prueba plena, salvo que estamos suponiendo que el $n^{1/n}$ converge (pero lo hace, ya que esta secuencia es el tiempo de disminución).

PS: Este argumento tiene destellos de la filosofía de la prueba de condensación de Cauchy.

Answer 5

Una forma de ver esto es: por ejemplo, $(1.01)^n$ crece más rápido de lo $n$, lo suficientemente grande como para $n$, $n$ el tiempo será de menos de $(1.01)^n$. Una vez que usted ha llegado a este punto, usted tendrá $1 < n^{1/n} < 1.01$. Ahora, simplemente reemplace $1.01$ $1 + \epsilon$ cualquier $\epsilon > 0$, y usted tendrá una prueba de el límite.

Para reducir la primera declaración aún más: vamos a $a_n := \frac{n}{(1.01)^n}$. A continuación,$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1 + 1/n}{1.01} = \frac{1}{1.01} < 1$. Por lo tanto, supongamos $N$ es tal que $\frac{a_{n+1}}{a_n} < 0.995$$n \ge N$; a continuación, para $n > N$, $0 < a_n < a_N (0.995)^{n-N}$, así que por el teorema del sándwich, $\lim_{n\to \infty} a_n = 0$. Así, la intuitiva punto aquí es: aunque la base de que el exponente es sólo ligeramente mayor que 1, eventualmente comienza a hacer $a_n$ disminuir en aproximadamente como una sucesión geométrica con relación $\frac{1}{1.01}$.

(Por supuesto, las otras respuestas que expresan $n^{1/n}$ $e^{\frac{1}{n} \ln n}$ le dará una idea mucho mejor de cómo de rápido se $n^{1/n}$ enfoques 1: a saber, $n^{1/n}$ es aproximadamente igual a $1 + \frac{\ln n}{n}$ grandes $n$.)