¿Dado el número de campos de $K$ y $L$, en qué condiciones no existe un campo número $M$ $$\mathcal{O}_K\otimes_{\Bbb{Z}}\mathcal{O}_L\cong\mathcal{O}_M.$ $ es necesario que ese $K$ $L$ son linealmente desunido, y esto también es suficiente?
Respuesta
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user463330
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No recuerdo ahora mismo los detalles, pero debe ser el caso, de que sus condiciones $K$, $L$ linealmente disjuntos y$$\text{gcd}(\Delta_K, \Delta_L) = 1$$are necessary and sufficient for$$\mathcal{O}_K\otimes \mathcal{O}_L\cong \mathcal{O}_M.$$I guess you have already figured out the sufficiency. To go the other way, you get quite quickly by tensoring with $\mathbb{Q}$ that if$$\mathcal{O}_K\otimes \mathcal{O}_L\cong \mathcal{O}_M,$$then $M$ has to be the compositum of $K$ and $L$ and, by counting dimensions, that they have to be disjoint. For the remaining part, you would like to show that if the discriminants are not coprime, then $\mathcal{O}_K\otimes \mathcal{S}_L$ cannot be integrally closed, and hence, cannot be isomorphic to $\mathcal{S}_M$. Because these are rings of dimension $1$, this is the same as showing that they are not regular. For this, it should suffices to first tensor with $\mathbb{Z}_p$ (the completion of $\mathbb{Z}$ at $p$) for a prime $p$ dividiendo ambos discriminantes y, a continuación, mostrar que esto no es normal. (Esto implicará algún tipo de álgebra conmutativa lema, que no puedo recordar.)
Tenemos$$(\mathcal{O}_K\otimes \mathcal{O}_L)\otimes \mathbb{Z}_p=(\mathcal{O}_K\otimes \mathbb{Z}_p) \otimes_{\mathbb{Z}_p} ( \mathcal{O}_L \otimes \mathbb{Z}_p).$$But now, $\mathcal{S}_K\otimes \mathbb{Z}_p$ divide en $$\prod_i \mathcal{O}_{K, m_i},$$where $m_i$ are the primes in $\mathcal{O}_K$ dividing $p$, and the same for $\mathcal{O}_L$. ($\mathcal{O}_{K,m}$ denotes the completion of $\mathcal{O}_K$ at $m$.)
Por lo tanto, vamos a examinar un producto de anillos de la forma $$\mathcal{O}_{K,m} \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_{L,n}.$$ Sólo tenemos que mostrar uno de estos no es regular. Para esto, tome $m$ $n$ que son ramificado, y debería ser relativamente sencillo álgebra para demostrar esto.
Si usted no está familiarizado con regularidad, buscar algún libro sobre álgebra conmutativa.
