Alguien puede ayudar me apunte a un método de solución para este problema?
Solucionar $C(\vec{x})$ donde $\vec{x}=(r,\theta,\phi)$ en $\Omega=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^3\ |\ r\in[0,R],\ \phi\in[0,2\pi),\ \theta\in[0,\pi)\}$ donde $R>0$. Podemos definir los límites y las regiones dentro de $\Omega$ como sigue: \begin{align} \partial\Omega_1 &= % \{\vec{x}\in\mathbb{R}^3\ |\ r=R,\ \theta\in[0,\theta_1),\ \phi\in[0,2\pi)\}\\ % \partial\Omega_2 &= % \{\vec{x}\in\mathbb{R}^3\ |\ r=R,\ \theta\in[\theta_1,\theta_2),\ \phi\in[0,2\pi)\}\\ % \partial\Omega_3 &= % \{\vec{x}\in\mathbb{R}^3\ |\ r=R,\ \theta\in[\theta_2,\pi),\ \phi\in[0,2\pi)\} \end{align} $C(\vec{x})$ se rige por la ecuación de difusión dentro de $\Omega$ con condiciones de frontera dadas a continuación, \begin{align} % 0 &= \nabla^2 C % \qquad &\text{for}\ \vec{x}\in\Omega \\ % -\vec{n}\cdot\nabla C &= -\mu % \qquad &\text{for}\ \vec{x}\in\partial\Omega_1\\ % -\vec{n}\cdot\nabla C &= \sigma C % \qquad &\text{for}\ \vec{x}\in\partial\Omega_2\\ % -\vec{n}\cdot\nabla C &= 0 % \qquad &\text{for}\ \vec{x}\in\partial\Omega_3 \end{align} donde $\mu,\sigma>0$.
Por la simetría del problema se reduce a
\begin{align} 0 =& % \frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial C}{\partial r} \right) % + \frac{1}{\sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin{\theta} \frac{\partial C}{\partial \theta} \right) \end{align}
Con la misma BC, sin embargo no puedo encontrar un método de solución que no causa el problema para convertirse en mal planteada.
EDIT: me han llegado a través de este documento por Mottin, estoy seguro de su aplicabilidad, debido a los tramos de la definición de nuestro Robin condición de frontera. ¿Esta invalidar el resultado de este trabajo?
