Diferente manera de encontrar el área de un círculo.

Question

Hola matemáticas de la comunidad!

Un día fui a la solución de una geometría del problema y pensé que había encontrado una forma de resolverlo. Cuando yo era resolver el problema, que tipo de inventar una nueva forma de encontrar el área de una figura que está relacionado con el círculo, pero sólo recientemente me di cuenta de que estaba equivocado. El método que inventó no era válido, pero yo no entiendo por qué no va a funcionar... no voy a describir aquí el problema, pero yo te voy a mostrar un ejemplo de que el método que he inventado.

Advertencia. Los siguientes métodos son válidos!

Para encontrar el área de un círculo con mi método es a la primera división del círculo en la mitad y en primer lugar, encontrar el área de eso y luego se multiplica por 2 en el final para hacer nuestra vida más fácil.

Un círculo de la mitad está hecha de montón de vertical "líneas" y yo pensaba que uno podía utilizar integrales para agregar estas "líneas" para obtener el área. Para ello debemos encontrar una función para obtener la longitud de una "línea" y, a continuación, integrar la función. Si dibujamos un triángulo rectángulo en el interior del círculo de la mitad, la tarea será más fácil.

la construcción de un medio círculo

triángulo dentro del círculo de la mitad

Ahora, para obtener el $l$, utilizamos sinusoidal: $l=r\cdot \sin(φ)$

Entonces tomamos la integral con respecto a $φ$. Supongo que esta parte es la causa de los problemas...

$$\int_{0}^\pi l \, dφ=\int_0^\pi r\cdot \sin(φ) \, dφ=r\int_0^\pi \sin(φ) \, dφ = r (-\cos(\pi) +\cos(0))=2r$$

Bien ya sabemos que el área de un círculo de la mitad es definitivamente $2r$ y si multiplicamos por $2$ obtendríamos $4r$ $4r \neq \pi r^2$

Con mi lógica, esto podría parecer muy válida y me gustaría saber por qué esto no funciona. Gracias!

Answer 1

La integración significa que la suma de áreas del rectángulo, no líneas. La altura de un rectángulo es $y=r\sin\phi$, pero su base está dada por la diferencia en $x$ cuando el ángulo varía entre el$\phi$$\phi+\Delta\phi$$\Delta x = -r(\cos(\phi+\Delta\phi)-\cos\phi)$. Como usted quiere tomar el límite de $\Delta\phi\to0$ puede aproximar $\Delta x$ a primer orden en $\Delta\phi$$\Delta x = r\sin\phi\Delta\phi$, de modo que su suma se convierte en $$ \lim_{\Delta\phi\to0}\sum r\sin\phi\cdot r\sin\phi\,\Delta\phi= \int_0^\pi r^2\sin^2\phi\, d\phi={\pi\over2}r^2. $$

Answer 2

Una forma de encontrar el son, usted puede utilizar el doble de la integral, tenga en cuenta que he utilizado coordenadas polares $$\int_{\circ}1\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_0^Rr\,dr\,d\theta=\int_0^R2\pi r \, dr =\pi R^2$$

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Otro methode:

$$\frac 1 2 \oint_{\gamma} x \, dy- y\,dx \text{ where } \gamma(\theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta),\quad 0\leq\theta < 2\pi$$

$$\frac 1 2 \int r^2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta) \, d\theta=\frac{r^2}{2} \int_0^{2\pi} \, d\theta=\pi r^2$$

Answer 3

El problema es el mismo si se intenta medir el área de una $30$-$60$-$90$-grado derecho triángulo mediante la integración a lo largo de la hipotenusa, el uso de la longitud de un segmento de recta paralelo a la pierna más larga. Deje $\theta$ ser la distancia recorrida a lo largo de la hipotenusa, $y$ de la longitud del segmento de recta desde el punto a distancia $\theta$ a la pierna más corta, en paralelo a la pierna más larga. A continuación,$y = \frac{\sqrt3}{2}\theta$. Si la longitud de la hipotenusa es $2$, entonces ingenuamente podríamos tratar de integrar $$ \int_0^2 \frac{\sqrt3}{2}\theta \,d\theta = \left.\frac{\sqrt3}{4}\theta^2 \right|_{\theta=0}^{\theta=2} = \sqrt 3. $$ Pero el área de ese triángulo es $\frac{\sqrt3}{2}$. ¿Qué salió mal?

La integración funciona, ya que son en realidad la suma de las áreas entre los segmentos de línea. El área entre dos segmentos de línea se puede aproximar por un rectángulo con una longitud igual a la longitud de uno de los segmentos y de anchura igual a la distancia entre ellos, medido perpendicularmente a los segmentos. Lo que está mal con el enfoque ingenuo es el que asume la distancia a lo largo de la hipotenusa era la distancia entre los segmentos, pero la hipotenusa no es perpendicular a los segmentos.

Hay al menos dos maneras de solucionar esto. Es una manera de escoger una de las diferentes variable sobre la cual se integran, tales como la distancia a lo largo de una pierna del triángulo. La otra forma es a cuenta de la relación de entre la velocidad a la que ponemos distancia vertical entre el segmentos y la velocidad a la que nuestro integración de la variable aumenta. La integración a lo largo de la hipotenusa como lo hicimos nosotros, cada unidad de viajes a lo largo de la hipotenusa nos lleva sólo a $\frac12$ unidad más cerca de la pierna opuesta, y pone a sólo $\frac12$ unidad de distancia entre los segmentos de línea. Así que tenemos un factor adicional de $\frac12$ en la integral:

$$ \int_0^2 \frac{\sqrt3}{2}\theta \times \frac12\,d\theta = \left.\frac{\sqrt3}{8}\theta^2 \right|_{\theta=0}^{\theta=2} = \frac{\sqrt3}{2}. $$

Para su integración en el círculo, el sentido de la marcha a lo largo de la la circunferencia está en constante cambio, y así es la relación de la distancia perpendicular ganado con el cambio en el $\phi$. Este coeficiente es cercano a cero al $\phi$ está cerca de cero, aumenta a $1$ cuando $\phi = \frac\pi2$ (un ángulo recto), y disminuye a cero como $\phi$ enfoques $\pi$; de hecho, es posible demostrar que la proporción es sólo de $\sin\phi$. De modo que la integral es correcta $$ \int_{0}^\pi l d\phi=\int_{0}^\pi r \sin(\phi) \times \sin(\phi)\,d\phi, $$ que ya se ha demostrado (en otra respuesta) para dar a la zona correcta.

Answer 4

Usted necesita $\displaystyle \int \ell\,dx$, no $\displaystyle\int\ell\,d\varphi$. Ha $x=r\cos\varphi$, lo $dx = -r\sin\varphi\,d\varphi$.