La convergencia de $ \int_0^{1/2}\frac{1}{\sin x\ln x}\, dx $

Question

¿La siguiente integral convergen o divergen? $$ \int_0^{1/2}\frac{1}{\sin x\ln x}\, dx $$

Al$x \in [0,1/2] , \sin x>0$$\ln x<0$. Por lo tanto,$-1/(\sin x\ln x)>0$, lo que significa que puedo usar la comparación de la prueba.

$$ \int_0^{1/2} \frac{1}{\sin x\ln x}dx < \int_0^{1/2} \frac{1}{\ln x}dx $$

No sé qué hacer a continuación con el fin de demostrar la convergencia (que creo que es la respuesta). Sugerencias serán apreciados.

Answer 1

Sugerencia: tenga en cuenta que$\frac2\pi x\le\sin(x)\le x$$0\le x\le\frac\pi2$. Por lo tanto, $$ \frac{\pi}{2}\int_0^{1/2}\frac1{x\log(x)}\,\mathrm{d}x\le\int_0^{1/2}\frac1{\sin(x)\log(x)}\,\mathrm{d}x\le\int_0^{1/2}\frac1{x\log(x)}\,\mathrm{d}x. $$