Desigualdades con funciones trigonométricas y exponenciales

Question

Encuentre el más pequeño $a > 1$ tal que $$\frac{a + \sin{x}}{a + \sin{y}} \leq \exp(y-x)$$ para todos $x\leq y$ .

Me resulta difícil. Tengo $a = \displaystyle{\frac{e^\pi +1}{e^\pi -1}}$ pero probablemente sea incorrecto. Mi método era maximizar el LHS dejando que $\sin{x}=1$ y $\sin{y}=-1$ y luego minimizar la RHS dejando que $y-x = \pi$ , y luego resolví encontrar $a$ .

Answer 1

De forma equivalente, se quiere $ae^x+\sin xe^x\leq ae^y+\sin y e^y$ . Por lo tanto, la función $f(x)=ae^x+\sin xe^x$ está aumentando. Pero, $f'(x)=ae^x+\cos x e^x+\sin x e^x$ Así que $$ae^x+\cos x e^x+\sin x e^x\geq 0\Rightarrow a\geq-\cos x-\sin x=-\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\Rightarrow$$$$ a \geq - \sqrt {2} \cos\left ( \frac {5 \pi }{4}- \frac { \pi }{4} \right )= \sqrt {2} $$ Conversely, if $ a= \sqrt {2} $ then $ f' \geq 0 $, so the function is increasing, therefore your inequality holds. So the minimum value of $ a $ is $\sqrt {2}$.