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Lo de dar la final de la conferencia en un diferencial de la clase de geometría?

Durante el semestre de otoño, tuve que dar una clase de ejercicios para el segundo año los estudiantes de matemáticas, como soporte para un teórico de la clase basada libremente en el libro `la geometría Diferencial de curvas y superficies " por Do Carmo. Ahora y, a continuación, he conseguido exprimir en un poco de diversión temas no cubiertos en la clase de teoría, como los cuatro vértices teorema, superficies mínimas, de Rham cohomology de $\mathbb{R^{3}}$, ... la semana que viene me tiene que dar la última clase, y quiero terminar con algo muy bonito teorema o un conjunto de ideas. ¿Alguien tiene alguna experiencia con esto? Tal vez alguien estaba una vez en una clase que trató de hacer algo similar? Hay un par de criterios:

  • Se debe tomar alrededor de una hora para explicar
  • Esto sólo es necesario el incrustados definición de variedad, no el valor intrínseco de una
  • Es el nivel de Do Carmo
  • Los requisitos previos son los de primera y segunda forma fundamental, la normal y la curvatura de Gauss, el theorema egregium y las ideas básicas en geodesics y geodésico de la curvatura.

Uno de los físicos en la clase me pidió que decir algo acerca de la relatividad general y la geometría diferencial, pero después de haber mirado a través de un número de referencias, esto parece bastante difícil.

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larryb82 Puntos 158

De Gauss-Bonnet uno llega con rapidez a la de Poincaré-Hopf Teorema, que es una importante e interesante resultado en su propio derecho. Usted también consigue el corolario de que no se puede peinar el cabello en una compacta orientada a la superficie, a menos que su homeomórficos a un toro (la Bola Peluda teorema en el caso de una esfera). Ahora tienes las herramientas para demostrar el siguiente teorema de Morse:

Deje $f :\Sigma\to \mathbb{R}$ ser una función suave en un compacto orientado a la superficie de tal manera que todos los puntos críticos de f es no degenerada. Supongamos que M = número de los máximos locales, m= número de mínimos locales, y s= número de puntos de silla. A continuación, $$ M-s+m = \chi (\Sigma).$$

Cuanto a que esto es muy notable - no depende de lo $f$ es en realidad. La topología de la superficie el único que determina, en cierto sentido, cómo extremos forman y se deforman. Como una simple aplicación, usted puede tomar la altura de la función de un pacto orientado a la superficie con $g$ agujeros para ver que tiene característica de Euler $2-2g.$

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Chris Puntos 133

El Cauchy-Crofton teorema es un buen uno. No te has cubierto de Gauss-Bonnet? Que es un estándar.

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