Solución específica para el $1D$ ecuación de onda

Question

Así que mi solución actual para el $1D$ La ecuación de onda es (con mis condiciones iniciales y de contorno dadas): $$y(x,t) = \sum_{n=1}^\infty C_n\cdot \sin\frac{n \pi x}{2 l}\cdot\cos\frac{n \pi c t}{2 l}$$

Sin embargo hay una condición inicial final que es a trozos, no estoy seguro de cómo aplicarla y las soluciones esperadas son de una serie infinita (serie de fourier).

La última condición inicial es:

$$y(x,0)= \begin{cases} R\cdot\frac{x}{l} & \quad 0\le x\le 1 \\ R\cdot\left(2 - \frac{x}{l}\right) & \quad l\le x\le 2 l \end{cases}$$

Se agradece cualquier ayuda o consejo para resolverlo.

Answer 1

Asumiendo que todos nuestros cambios son correctos, puedes obtener todos los $C_n$ utilizando la fórmula de los coeficientes de la serie sinusoidal de Fourier:

La solución le dice que $y(x,0)=\sum_{n=1}^\infty C_n\sin\left(\frac{n\pi x}{2l}\right)$ y la condición te dice que esta serie debe ser igual a esa función a trozos.

Así, $$C_n=\frac{1}{l}\int_0^{2l}y(x,0)\sin\left(\frac{n\pi x}{2l}\right)dx.$$

Como la función está dada a trozos, hay que dividirla en dos integrales:

$$C_n=\frac{1}{l}\int_0^l R\cdot\frac{x}{l}\sin\left(\frac{n\pi x}{2l}\right)dx+\frac{1}{l}\int_l^{2l}R\left(2-\frac{x}{l}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{2l}\right)dx$$

Es un poco tedioso asegurarse de no perder ninguna de estas constantes al integrar, pero deberías poder resolverlo desde aquí (busca $\int x\sin(ax)dx$ en una tabla para hacerlo más rápido si lo deseas).