Prueba $\sum\limits_{\mathrm{cyc}}\sqrt{a^2+bc}\leq{3\over2}(a+b+c)$ $a,b,c$ son no negativos

Question

Espero que alguien pueda ayudar en esta desigualdad utilizando nonanalytical método (es decir, simples y elementales método de aprovechamiento de las desigualdades básicas son preferentemente).

Demostrar $\sum\limits_{\mathrm{cyc}}\sqrt{a^2+bc}\leq{3\over2}(a+b+c)$ $a,b,c$ son no negativos.

Aquí es lo que ya tengo.

En primer lugar, uno debe notar la igualdad tiene al $a=b=c$ como se podría inicialmente se pensaba. Más bien, la igualdad tiene al $(a,b,c)$ es una permutación de $({1\over2},{1\over2},0)$.

En segundo lugar, y obviamente, esto es cíclico y homgeneous y, por tanto, podemos aplicar la EMV teorema desarrollado por la OMI medallista de oro (referencia aquí: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1130901) y, a continuación, la desigualdad original puede ser fácilmente demostrado por el supuesto de $$f(a,b,c)={\sum\limits_{\mathrm{cyc}}\sqrt{a^2+bc}\over {a+b+c}},$$and then prove $$f(1,1,1)\leq{3\over2},\\f(a,b,0)\leq{3\over2},\forall a,b\geq0.$$

Pero este tipo de prueba no se ajustan a mi apetito ya que no sólo implica una mayor teorema, pero también no muy agradable como un sencillo y agradable forma de la pregunta de sí mismo.

Así que la gente puede ayudar en algunos primaria prueba de que sólo puede tomar el uso de la las desigualdades básicas como AM-GM, la desigualdad de Jensen, etc.

Answer 1

Primero comprobamos $abc=0$, si $a=0 ,\implies 2\sqrt{bc}\le b+c$, es true.the "=" llevará a cabo cuando $b=c$

en caso de $abc \not=0$

let $c=Max${$a,b,c$},

Discutimos dos casos:

1. $a^2+b^2+c^2 \ge 2(ab+bc+ac) \implies c\ge a+b+2\sqrt{ab} \implies ab \le \dfrac{c^2}{16}$

LHS $\le\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\sqrt{c^2+\dfrac{c^2}{16}}\iff \sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\dfrac{\sqrt{17}c}{4} \le \dfrac{3(a+b+c)}{2} \iff\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac} \le \dfrac{3(a+b)+(3-\dfrac{\sqrt{17}}{2})c}{2} \iff 2 \sqrt{a^2+bc}\sqrt{b^2+ac}\le p^2c^2+q(a+b)c+5a^2+5b^2+18ab \\ p=3-\dfrac{\sqrt{17}}{2}>0.8,q=14-3\sqrt{17}>1\\ \iff 4a^2b^2+4b^3c+4a^3c+4abc^2 \le \left( p^2c^2+q(a+b)c+5a^2+5b^2+18ab\right)^2 $

Mira el lado derecho, de $18ab$ tomamos $2ab$ a $4a^2b^2$, $16ab+p^2c^2 \implies 32p^2abc^2 >4abc^2,2*5a^2*qac >4a^3c,2*5b^2*qbc>4b^3c \implies LHS <RHS$

2. $a^2+b^2+c^2 \le 2(ab+bc+ac)$ (es por eso exculde $abc=0$)

$\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3} \le \sqrt{\dfrac{x+y+z}{3}}$

LHS $\le \sqrt{3(a^2+bc+b^2+ac+c^2+ab)} \iff \\ \sqrt{3(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)} \le \dfrac{3(a+b+c)}{2} \iff a^2+b^2+c^2 \le 2(ab+bc+ac) $

pero primero "=" será presionado cuando $a=b=c$, el segundo "=" llevará a cabo cuando $c=a+b+2\sqrt{ab}$

así que es imposible de sostener "=".

QED