Irracional a la energía de sí mismo es natural

Question

He estado pensando acerca de un número natural como $n$, de modo que $x^x=n$ para algunos irracionales $x$, pero no pude encontrar nada. Como yo no sabía cómo abordar el problema, he probado a hacer algunos de los casos más simples primero ($n$ es un número natural):

1. $\sqrt a^{\sqrt a}=n$ para irracional $\sqrt a$
   Mi enfoque: $\sqrt a^{\sqrt a}=n\Rightarrow \sqrt a^a=n^{\sqrt a}$. Y aquí, suponemos $a$ es incluso. Esto significa que el LHS sería un número natural, y por lo tanto $n^\sqrt a$ es natural también. Esto significa $\sqrt a = \log_n{b}$ que creo que no puede ser cierto cuando se $b$ no es una potencia de $n$ debido a que el tiempo creo que el logaritmo sería trascendental (no estoy seguro). Pero esto sólo refuta el caso de $a$ aun! Aún si podemos demostrar que no hay tal $n$$a$, se debe revisar el siguiente caso.
   
2. $a^a=n$ para algebraicas irracionales $a$
   Esto parece más probable que en el primer caso, pero todavía no tengo idea de en que se acercan.
3. $a^a=n$ para irracional $a$
   Este es de hecho más general que los dos primeros casos y que se debe comprobar es si los dos primeros casos no! Aunque puede ser genial para encontrar todo tipo de irracional $a$s de modo que la igualdad se mantenga natural $n$.
   
   Agradecería cualquier ayuda :)
   
   Editar: Que Michael Hardy respuesta y TomOldfield la prueba de $x$ ser natural O irracional, yo todavía apreciar si teníamos algo que decir acerca de $x$ en ninguno de estos $3$ de los casos.

Answer 1

Si el problema es encontrar un número real $x$, que $x^x=n$, para un determinado $n\in \mathbb N$, entonces Note que la función $x\mapsto x^x$ es continua y va desde $1$ a un número positivo menor que $1$ y luego hasta $\infty$ $x$ va de $0$ $\infty$, por lo que el teorema del valor intermedio nos dice que existe una solución.

Encontrar la solución probablemente tiene que hacerse numéricamente en lugar de algebraico.