Donde son los ceros del complejo de seno y coseno?

Question

Qué pecado(z) y cos(z) tiene ceros en donde la parte imaginaria de z es distinto de cero? ¿Cómo podría yo demostrar que (o demostrar que es razonable)?

Answer 1

Podemos utilizar $$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$ Establecer esta igual a $0$. Un poco de manipulación de los rendimientos $(e^{iz})^2=1$.

Si la parte imaginaria de $z$ es distinto de cero, la norma de $e^{iz}$ es mayor que $1$, contradiciendo el hecho de que $(e^{iz})^2=1$. Una leve variante del mismo argumento funciona para $\cos z$.

Answer 2

No hay ninguno. De ello se desprende, por ejemplo, de los productos de Weierstrass $$ \cos z=\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{4z^2}{\pi^2(2n-1)^2}\right), $$ $$ \sen z=z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{(\pi n)^2}\right), $$ que son válidas para todos los $z\in \mathbb C$.