Si $f(g(x)) = g(x)$, lo $f(x)$?

Question

Si $f(g(x)) = g(x)$, entonces podemos concluir $f(x)=x$? (De hecho, $g(x) = x + 2f(x)$.)

O de las propiedades que $g(x)$ satisfacer? (como uno-a-uno, etc.)

Answer 1

Si $f(g(x)) = g(x)$, entonces para cualquier $y$ que se produce como $y = g(x)$ algunos $x$, tenemos (por poner que en particular $x$ en la ecuación) el hecho de que $f(y) = y$.

En otras palabras, $f$ es la función identidad en el rango de $g$.

Sin embargo, en los valores que no se producen en el rango de $g$ (es decir, para valores de $y$ que no ocurren como $y = g(x)$ cualquier $x$), la función de $f$ podría tomar cualquier valor arbitrario, y no sería capaz de notar la diferencia por considerar $f(g(x)) = g(x)$, porque este hecho es simplemente agnóstico e irrelevante a tales valores.

En el ejemplo de marty cohen respuesta, con $g(x) = x^2$, el rango de $g$ es no negativo de números (suponiendo que estamos trabajando a través de los reales o de un subconjunto de los mismos). Así, en el conjunto de números no negativos, podemos decir que el $f(x) = x$. Pero $f(x)$ podría tomar cualquier valor en todos los números negativos. Su ejemplo de $f(x) = |x|$ es uno donde $f(x) = x$ para números no negativos, sino $f(x) = -x$ para los números negativos. También podríamos tomar funciones como $\displaystyle f(x) = x\frac{1 + x}{1 + |x|} + (x - |x|)^3$ o de hecho a cualquier función arbitraria $f$ satisfacción $f(x) = x$ para números no negativos.

Answer 2

Esta es la pregunta que me estoy respondiendo:

Si algunas de las funciones de $f$ $g$ son tales que $f(g(x)) = g(x)$ $g(x) = x + 2f(x)$ por cada $x$, podemos concluir que el $f(x)=x$ por cada $x$? Más en general, de las propiedades que una función de este tipo $g$ satisfacer, tales como, el ser uno-a-uno, etc.?

Si $f\circ g=g$ $g(x)=x+2f(x)$ por cada $x$ $2f\circ g=g\circ g-g$ por lo tanto $g\circ g=3g$. Por el contrario, si $g\circ g=3g$, definir $f$$f(x)=\frac12(g(x)-x)$, $f\circ g=g$ $g(x)=x+2f(x)$ por cada $x$. Esto muestra uno se reduce al estudio de las soluciones de la ecuación funcional $g\circ g=3g$.

Para responder sucintamente la cuestión principal en el post, la solución obvia $g:x\mapsto3x$ no es el único, por tanto no, no se puede concluir que $f:x\mapsto x$.

Para un contraejemplo, vamos a $X\subset\mathbb R$ $h:X\to \mathbb R\setminus X$ y considere la función $g$ definido por $g(x)=3x$ por cada $x$ no $X$ $g(x)=h(x)$ por cada $x$$X$. A continuación, $g\circ g=3g$ pero $g$ no tiene que ser la función de $x\mapsto3x$, ni una función regular, ni uno a uno ni sobre.

Tenga en cuenta que $X$ puede ser tan grande como uno quiera, siempre que $X\ne\mathbb R$, $h$ puede ser cualquier función cuya imagen se incluye en $\mathbb R\setminus X$. Esto deja mucho espacio para la "patológico" ejemplos.

Para ser totalmente específico (aunque no demasiado patológico), considere la función $f$ definido por $f(x)=x$ por cada $x$ no $\mathbb Q$ $f(x)=\frac12(\pi-x)$ por cada $x$$\mathbb Q$.

Answer 3

Depende de la gama de $g$.

Por ejemplo, si $g(x) = x^2$, y $f(x) = |x|$, entonces $f(g(x)) = g(x)$ para todos los verdaderos $x$.