Ecuaciones diferenciales y transformadas de Fourier y las transformadas de Laplace

Question

¿Por qué tanto la transformada de Fourier y la transformada de Laplace aparecen en el estudio de las ecuaciones diferenciales? Nunca he entendido por qué hay algunas situaciones en las que la transformada de Fourier se utiliza y algunas otras situaciones donde la transformada de Laplace se utiliza en su lugar.

Edit: En respuesta a los comentarios. Me gustaría escuchar una respuesta en el contexto de la matemática pura. Por ejemplo, he oído que la transformada de Fourier es muy, muy útil en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales porque transforma una PDE en una ecuación algebraica. Sin embargo, no oigo acerca de la transformada de Laplace de ser tan útil en la matemática pura.

Answer 1

Voy a hablar de la transformada de Laplace. Lo que me parece importante acerca de la transformada de Laplace de las ecuaciones diferenciales es que hace operativa cálculo riguroso a la hora de tratar con DEs.

Un conocido ingeniero y mathemathician, Heaviside, considerada $D = \frac{d}{dx}$ como un operador que actúa sobre $y$ a producir ecuaciones diferenciales. Después pensó acerca de lo siguiente:

$$y' = f(t)$$

se puede poner como

$$Dy = f(t)$$

El si pensamos en $\frac{1}{D}$ como la operación inversa de a $D$ nos gustaría algebraicamente pensar:

$$y = \frac{1}{D}f(t)$$

como la solución de nuestro problema. Pero luego tendrías la equivalencia

$$\int f(t) dt = \frac{1}{D}f(t)$$

Entonces, ¿qué acerca de:

$y'+y = f(t)$

$(D+1)y = f(t)$

Nuestra solución sería ahora

$$y = \frac{1}{D+1}f(t)$$

Sabemos que si usamos el factor de integración $e^t$ hemos

$(e^t y)' = e^t f(t)$

Así finalmente llegamos

$$y = e^{-t} \int {e^tf(t)dx}$$

Como consecuencia se pueden definir

$$\frac{1}{D+1}f(t) = e^{-t} \int {e^tf(t)dt}$$

Y si pensamos más en general, nos gustaría obtener

$$\frac{1}{D-m}f(t) = e^{mt} \int {e^{-mt}f(t)dt}$$

De nuevo, lo que si tenemos un segundo orden de la ecuación?

$$y''-y = f(t)$$

Esto significa

$$(D^2-1)y = f(t)$$

Y así

$$y = \frac{1}{D^2-1}f(t)$$

Pero ¿qué significa esto? Vamos a ser francos y escribir.

$$\frac{1}{D^2-1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{D-1}-\frac{1}{D+1}\right)$$

Por lo tanto, esto significaría que la solución es

$$y =\frac{1}{D^2-1}f(t) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{D-1}f(t)-\frac{1}{D+1}f(t)\right)$$

Y desde nuestro último enfoque

$$y =\frac{1}{D^2-1}f(t) = \frac{1}{2} \left(e^{t} \int {e^{-t}f(t)dt}-e^{-t} \int {e^{t}f(t)dt}\right)$$

Vamos a probar este método con

$$y''-y = \sin t$$

Nuestra solución sería entonces

$$y = \frac{1}{2}\left( {{e^t}\int {{e^{ - t}}\sin tdt} - {e^{ - t}}\int {{e^t}\sin tdt} } \right)$$

Acabo de comprobarlo

$$\int {{e^t}\sin tdt} = \frac{1}{2}{e^t}\left( {\sin t - \cos t} \right) + {c_0}$$

$$\int {{e^{ - t}}\sin tdt} = - \frac{1}{2}{e^{ - t}}\left( {\sin t + \cos t} \right) + {c_1}$$

Luego, después de una manipulación algebraica se obtiene:

$$y = {c_1}{e^t} - {c_0}{e^{ - t}} - \frac{1}{2}\sin t$$

Que claramente satisface la ecuación y $c_1$ $c_2$ están por determinar.

Este manipulaciones motivado formal thoery de la operativa de cálculo, que resultó ser coherente por el analsis de la transformada de Laplace. Tenga en cuenta las similitudes de la apariencia de $$f(t) = e^t \Rightarrow F(s) = \frac{1}{s-1}$$ y el hecho de $e^t$ satisface $(D-1)y = 0$. Al igual $$f(t) = e^{-s} \Rightarrow F(s) = \frac{1}{s+1}$$ and $e^{-t}$ satisfies $$(D+1)y = 0$$ And (!) you have that $$\sinh(t) = f(t) \Rightarrow F(s) = \frac{1}{s^2-1}$$ and this function satisfies $$(D^2-1)y=0$$

Para más información sobre esta comprobación Spiegel Aplicada Ecuaciones Diferenciales (207-218), donde encontrará teoremas tales como:

Deje $\phi(D)$ ser un polinomio en $D=\frac{d}{dx}$. Entonces

$$\phi(D) \{ e^{at}f(t) \} = e^{at}\phi(D+a)\{f(t)\}$$

Otra conexión, y creo que este es el fuerte es uno (Spiegel, p. 284)

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{F(s)}{s-a}\right\} = e^{at} \int_0^t {e^{-au} f(u)du}$$

(Usar el teorema de convolución)

Suena una campana?

$$\frac{1}{D-m}f(t) = e^{mt} \int {e^{-mx}f(x)dx}$$

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EDIT: La expresión de $\phi(D)$ lineal de los factores de $(D-p_1)$ se puede realizar siempre y cuando el polinomio de coeficientes son constantes. (Esto se deriva del hecho de que $D$ no es asociativa ni conmutativa , es decir, $$(D f) g \neq D (fg)$$ and $$D f \{\} = f' \neq f D\{\}$$ where you'd enter a function of $t$ inside $\{\}$.

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Añado: De la misma manera que la transformada de Fourier hace un PDE una ecuación algebraica, como estado (sé casi nada sobre los PIES), la transformada de Laplace hace una ODA una ecuación algebraica.

Answer 2

Verificación de google:

1. Respondió aquí en otra pregunta
2. y aquí tiene una gran pdf que explica la diferencia.
3. The Straight Dope respuesta

Si usted dio más detalles o ser más específico sería de gran ayuda para obtener un mayor detalle y la calidad de la respuesta. De usted pregunta, creo que los enlaces de arriba le ayudará. El pdf es una buena lectura.

Answer 3

Creo que la pregunta pide una respuesta práctica. Ingeniería eléctrica proporciona algunos ejemplos útiles.

El uso de Laplace y de Fourier permite la solución de lineal constante coeficiente integro-diferenciales ecuaciones con poco más de álgebra y una tabla de transformadas. Por ejemplo,

$\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) + \int_{0}^{t}y(\lambda)e^{-2(t-\lambda)} d\lambda = 10u(t);$

$y(0) = 0$.

Consultando una tabla de transformaciones, aprovechando el comportamiento de la ecuación en virtud de la transformación de la "s" de dominio (en particular, que las circunvoluciones en el dominio del tiempo tienden a corresponder a una simple multiplicación en la "s" de dominio; esto nos da una enorme apalancamiento), usualmente obtenemos una expresión racional cuya fracción parcial de expansión es fácil transformar de nuevo en el dominio del tiempo.

[El problema que he visto es resuelto en los Ejemplos 12.7,12.9 en Irwin, Básicos Ing. Análisis de circuitos en el 506.]

La combinación de integrales y derivadas que los resultados, incluso de simple circuito de CA de análisis a menudo desafía la solución por otros medios, por lo que en un sentido la respuesta a la pregunta es práctico: cualquier otro método sería horrible. Incluso los libros de texto de matemáticas (por ejemplo, Diprima, Elem. Diff. Eq. en 279) tienden a introducir transformadas de Laplace como "herramientas útiles" para la solución de ecuaciones diferenciales lineales. La motivación es utilitaria. En pocas palabras: un difícil problema de cálculo se transforma en un dócil problema de álgebra.

Como de Laplace frente a las transformadas de Fourier, la respuesta corta es que las transformadas de Laplace es una generalización de la transformada de Fourier transforma en el sentido de que no son transformadas de Laplace de las funciones que no tienen transformadas de Fourier. Observando la definición de la transformada de Laplace se puede ver que se trata de situaciones para t > 0 y que s = $\sigma + j\omega$. Comparando esto con la definición de la transformada de Fourier-y la comparación de las tablas de transforma para cada uno -, debe darle un sentido que se utilizan en la misma forma, pero el problema particular que dictaría la elección del método.