Una desigualdad de $L^p$ normas de combinaciones lineales de funciones características de bolas

Question

Deje $1<p<\infty$. Deje $(a_n)_{n=1}^\infty$ ser una secuencia de los números reales no negativos y $\{B_{r_i}(x_i)\}_{i=1}^\infty$ ser una secuencia de abrir bolas en $\mathbb{R}^n$. Demostrar que no existe $C>0$ tal que \begin{equation*} \Big\|\sum_i a_i\chi_{3B_i}\Big\|_p\leq C\Big\|\sum_ia_i \chi _{B_i}\Big\|_p. \end{ecuación*} Aquí $B_i=B_{r_i}(x_i)$, $3B_i=B_{3r_i}(x_i)$. Por otra parte, $C$ no depende de la elección de $(a_n)_{n=1}^\infty$.

Sugerencia: Deje $g\in L^q(\mathbb{R}^n)$$1/p+1/q=1$. Vamos \begin{equation*} g^*(x)=\sup_{x\in B}\dfrac{\int_B|g| d\mu}{Vol(B)}. \end{ecuación*} Demostrar que no existe $C_0>0$ tal que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^n}\sum_i a_i\chi_{3b_i}(x)|g(x)|d\mu\leq C_0\int_{\mathbb{R}^n}\sum_i a_i\chi_{B_i}(x)g^*(x)d\mu. \end{ecuación*}

Cómo resolver esto? Cómo probar las sugerencias y cómo utilizar las sugerencias para demostrar el resultado? Se me ha perdido por completo. Gracias.

Answer 1

Recordemos que el $L^p$ norma de una función de $h$ es igual a $$\sup_{g\in L^q\setminus \{0\}}\frac{\int |hg|}{\|g\|_q}$$ donde $q=p'$. Así, no es suficiente para mostrar $$ \int_{\mathbb{R}^n}\sum_i a_i\chi_{3B_i}(x)|g(x)|d\mu\leq C \|\sum_ia_i \chi _{B_i}\|_p \|g\|_q \etiqueta{1}$$ La ventaja de (1) a través de la formulación original es que el lado izquierdo de (1) es lineal en la función que nos importa, lo que nos permite dividir la integral de la suma como la suma de las integrales.

Primer paso para probar (1) es $$ \int_{3B_i} |g| \le C\int_{B_i} g^* \tag2 $$ donde $g^*$ es el de Hardy-Littlewood máximo de la función. La razón de (2) es que por cada $x\in B_i$, la bola centrada en $x$ radio $4r_i$ cubre $3B_i$. Por lo tanto, $$ g^*(x) \ge \frac{1}{\mu(B_{4r_i} (x))} \int_{B_{4r_i}(x)}|g| \ge \frac{1}{\mu(B_{4r_i} (x))} \int_{3B_i}|g| \tag3 $$ La integración de más de $B_i$ recoger el factor de $\mu(B_i)$ que esencialmente se anula el denominador en (3). Esto demuestra (2) y, con ello, la sugerencia.

Para utilizar la pista, aplicar Hölder de la desigualdad:
$$ \int_{\mathbb{R}^n}\sum_i a_i\chi_{B_i}(x)g^*(x)d\mu \le \|\sum_ia_i \chi _{B_i}\|_p \|g^*\|_q $$ and then use the strong $(q,p)$ inequality for the maximal function: $\|g^*\|_q\le C\|g\|_q$. Obtendrás (1).

---

Por cierto, la historia de este resultado (a veces llamado Bojarski del lema) fue discutido en el MO.