¿Si $f(x/n)\to0$ cuando $n\to\infty$, cada $x$ $f$ es continua, entonces el $f(x)\to0$ cuando $x\to0$, o no?

Question

Que $f:(0,\infty)\to \Bbb R$ ser continua y tal que para cada $x>0$ la secuencia $\{f(\frac{x}{n})\}\to 0$.

¿Implica que el $\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$?

Mi intento: Fix $x>0$. Ya que $f$ es continuo entonces $\lim _{n\to \infty}f(\frac{x}{n})=f(\lim_{n\to \infty} \frac{x}{n})=f(0)\implies f(0)=0$

Ya que $f$ es continua y $f(0)=0\implies \lim _{x\to 0^+} f(x)=0$

¿Es correcta la solución? En el libro se da al utilizar el teorema de categoría de Baire.

Answer 1

Ampliación de Moya comentario, aquí es un buen indicio.

Fix $\epsilon>0$. Vamos $$ K_n = \{x>0:|f({x}/m)|\le\epsilon \text{ para todo } m\ge n\} $$ La idea es que para todos los $x$, la secuencia de $f(x/n)$ se encuentra cerca de 0 finalmente, por lo que definimos $K_n$ para el conjunto de la $x$ para que es esta secuencia es cercano a cero, específicamente en el tiempo de $n$.

Siguiente, demostrar que

1. Los conjuntos de $K_n$ están cerrados.
2. La unión de $K_n$$\mathbb R^+$.

Desde (una forma) de la Categoría de Baire Teorema de los estados que $\mathbb R^+$ no puede ser escrito como una contables de la unión de la nada densos conjuntos cerrados, se puede concluir que uno de los conjuntos de $K_n$ está en algún lugar densa, lo que para los conjuntos cerrados significa que contiene un intervalo de $[x_1,x_2]$, para algunas de las $x_1<x_2$.

Este es un gran avance. Ahora, tenemos una serie de bloques sólidos de puntos $$[x_1/n,x_2/n],[x_1/(n+1),x_2/(n+1)],[x_1/(n+2),x_2/(n+2)]\dots,$$ where for any $x$ in these intervals, $|f(x)|<\epsilon$. Use this fact to find a $\delta>0$ such that $|f(x)|<\epsilon$ whenever $|x|<\delta$.

Answer 2

Te voy a dar un resumen:

Iniciar con la definición de un límite.

$$\forall \epsilon \text{ } \exists \delta \text{ s.t. } |f(x)|\leq \epsilon \text{ whenever } x\in (0,\delta).$$

Y la definición de $\{f(\frac{x}{n})\}\to0$

$$\forall \epsilon \text{ } \exists N \text{ s.t. } |f(\frac{x}{n})|\leq \epsilon \text{ whenever } n>N.$$

Y la continuidad (*editar, accidentalmente escribió la definición de continuidad uniforme)

$$\forall \epsilon,x \text{ } \exists \delta \text{ s.t. } |f(x)-f(c)|\leq \epsilon \text{ whenever } |x-c|<\delta.$$

Primera fuerza $|f(x)|\leq \frac{\epsilon}{2}$, entonces la fuerza de $|f(x)-f(c)|\leq \frac{\epsilon}{2}$, que le da ese $f(c)<\epsilon$. Tendrás que ser un poco más riguroso con los deltas, hágamelo saber si debo elaborar.