Si $\frac{1}{1+x+f(y)}+\frac{1}{1+y+f(z)}+\frac{1}{1+z+f(x)}=1$ encuentra la función $f(x)$

Question

Encontrar todas las funciones $f(x):(0,\infty)\to(0,\infty) $ satisfacción $$\dfrac{1}{1+x+f(y)}+\dfrac{1}{1+y+f(z)}+\dfrac{1}{1+z+f(x)}=1$ $

cuando $x,y,z$ son números positivos y $xyz=1$

Saber este si $$xyz=1\Longrightarrow \dfrac{1}{1+x+xy}+\dfrac{1}{1+y+yz}+\dfrac{1}{1+z+zx}=1$ $ ya\begin{align*}\dfrac{1}{1+x+xy}+\dfrac{1}{1+y+yz}+\dfrac{1}{1+z+zx}&=\dfrac{1}{1+x+xy}+\dfrac{x}{x+xy+xyz}+\dfrac{xy}{xy+xyz+x^2yz}\\ &=\dfrac{1+x+xy}{1+x+xy}\\ &=1 \end{align*} por lo que supongo que $$f(x)=\dfrac{1}{x}$ $ pero no puedo probarlo. Gracias

Answer 1

Considere la posibilidad de $f$ una función la cumple la condición propuesta.

• Establecimiento $(x,y,z)=(1,1,1)$ vemos que $f(1)=1$.

• Ahora, considere la posibilidad de $t>0$ y dejar $a=f(t)$, $b=f(1/t)$. Establecimiento $(x,y,z)=(t,1/t,1)$ tenemos $$ \frac{1}{1+t+b}+\frac{1}{2+1/t}+\frac{1}{2+a}=1\etiqueta{1} $$ y establecimiento $(x,y,z)=(1/t,t,1)$ tenemos $$ \frac{1}{1+1/t+a}+\frac{1}{2+t}+\frac{1}{2+b}=1\etiqueta{2} $$ Ahora es fácil comprobar que este sistema de dos ecuaciones con incógnitas $a$ $b$ tiene una única solución a $(a,b)=(1/t,t)$. En particular, $f(t)=1/t$. En efecto, desde la $(1)$ tenemos $$ b=\frac{1+3t-t^2}{1+a+a t} $$ y de la $(2)$ tenemos $$ b=\frac{3t+(1-a)t^2}{1+at+t^2} $$ Igualando estas dos expresiones se obtiene un simple ecuación equivalente a $(at-1)^2=0$ ( $t\ne1$ .) Por eso, $a=1/t$.

• Por el contrario, es fácil comprobar que $t\mapsto 1/t$ es una solución para el problema propuesto. Así, es el único.$\qquad\square$