¿Los valores absolutos de las funciones diferenciables con raíces presentan siempre cúspides?

Question

Me interesa la siguiente pregunta porque espero sorprenderme con un contraejemplo exótico.

Conjetura: Sea $x=a$ sea una raíz de una función diferenciable $f$ tal que $f(x)>0$ para $k<x<a$ y $f(x)<0$ para $a<x<q$ , donde $k, q \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ . Entonces $x=a$ es una cúspide de $|f(x)|$ .

Esencialmente estoy conjeturando que si tienes una función diferenciable $f$ que no es constante alrededor de una de sus raíces, entonces la función de valor absoluto de $f$ será indiferenciable en la raíz de $f$ especificado. ¿Alguien podría pensar en un esquema de prueba para esta afirmación, o sugerir un contraejemplo?

Answer 1

Como muestran los comentarios a su pregunta, no es necesario acudir a funciones muy exóticas para obtener un contraejemplo a su conjetura; basta con que $f$ para tener derivado $0$ en su raíz (y para satisfacer el resto de sus requisitos). El tipo de contraejemplo más sencillo sería $x\mapsto x\,|x|$ Es decir $$ f(x)=\begin{cases}x^2&\text{if }x\geq0\\-x^2&\text{if }x<0.\end{cases} $$ Ahora $|f(x)|=x^2$ es todo lo agradable que se puede esperar de una función. Por supuesto, la original es ahora sólo una vez diferenciable en $0$ pero no pediste más. Si quieres un ejemplo en el que tanto la función original como su valor absoluto sean $\mathcal C^\infty$ (infinitamente diferenciable en todas partes) entonces contempla $$ g(x)=\begin{cases}xe^{-1/x^2}&\text{if }x\neq0\\0&\text{if }x=0.\end{cases} $$

Answer 2

Una función que satisface su condición será diferenciable en valor absoluto si y sólo si las semiderivadas izquierda y derecha son cero, es decir, si $$ \lim_{t \to 0^-} \frac{f(a+t) - f(a)}t = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(a+t) - f(a)}t = 0, $$ porque por continuidad tiene $f(a) = 0$ y sabes que $|f(a+t)| = f(a+t)$ para $t < 0$ , $|f(a+t)| = -f(a+t)$ para $t > 0$ Así que, juntando todo esto, significa que para $|f(x)|$ sea diferenciable en $x=a$ , necesitas $$ \lim_{t \to 0^+} \frac{-|f(a+t)|}t = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(a+t)}t = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+t)}t = \lim_{t \to 0^-} \frac{f(a+t)}t = \lim_{t \to 0^-} \frac{|f(a+t)|}t. $$ Así se llega a la conclusión deseada, con cierta comprensión.

Espero que eso ayude,