¿Cambia el peso de un reloj de arena cuando caen arenas en su interior?

Question

Un reloj de arena H pesa h. Cuando se coloca en una balanza con toda la arena apoyada en la parte inferior, la balanza marca un peso x donde x = h.

Ahora, si das la vuelta al reloj de arena para que la arena empiece a fluir hacia abajo, ¿qué marca la escala?

Imagino que al principio, cuando la arena empieza a caer pero antes de que la primera tanda de granos toque el fondo del reloj de arena, estos granos de arena se encuentran efectivamente en estado de caída libre, por lo que su peso no se registraría en la balanza. El peso en este punto tiene que ser inferior a h. Sin embargo, ¿qué ocurre en el estado estacionario, cuando siempre hay algo de arena que cae y algo de arena que toca el fondo del reloj de arena? En el estado estacionario, aunque tengamos algunas arenas en el estado de caída libre y por lo tanto disminuya el peso de H, también hay arenas que están golpeando (desacelerando) el fondo del reloj de arena. Esta desaceleración debería traducirse en un aumento de la lectura en la balanza mayor que el peso real de esas arenas que impactan. Para ilustrar este último punto, imagina una bola que pesa 500 g apoyada en una balanza. De la misma manera, en nuestra pregunta sobre el reloj de arena, ¿el efecto decreciente del peso debido a la caída libre anulará exactamente el efecto creciente del peso debido al impacto de la arena? depende del diámetro de la abertura? depende de la altura de la caída libre? ¿Depende de la presión del aire en el interior del reloj de arena?

Answer 1

Analizar la aceleración del centro de masa del sistema podría ser el camino más fácil, ya que podríamos evitar preocuparnos por las interacciones internas.

Utilicemos la segunda ley de Newton: $\sum F=N-Mg=Ma_\text{cm}$ donde $M$ es la masa total del recinto del reloj de arena y de la arena, $N$ es lo que se lee en la balanza (fuerza normal), y $a_\text{cm}$ es la aceleración del centro de masa. He escrito las fuerzas de tal manera que hacia arriba es positivo

El centro de masa del recinto+arena se desplaza hacia abajo durante el proceso, pero lo que importa es la aceleración. Si la aceleración es hacia arriba, $N>Mg$ . Si es hacia abajo, $N<Mg$ . Aceleración cero significa $N=Mg$ . Así, si averiguamos la dirección de la aceleración, sabremos cómo se compara la lectura de la escala con la fuerza gravitatoria $Mg$ .

La arena que todavía en la parte superior y ya en el fondo, así como el recinto, no sufre ninguna aceleración. Por lo tanto, la dirección de $a_\text{cm}$ es la misma que la dirección de $a_\text{falling sand}$ . Centrémonos en un poco de arena cuando empieza a caer (inicial) y luego se detiene en el fondo (final). $v_\text{i, falling}=v_\text{f, falling}=0$ Así que $a_\text{avg, falling}=0$ . Así, la aceleración (media) de todo el sistema es cero. La balanza lee el peso del sistema.

El párrafo anterior asumía la condición de estado estacionario que buscaba el PO. Durante este proceso, el centro de masa se desplaza aparentemente hacia abajo a velocidad constante. Pero durante el "giro" inicial del reloj de arena, así como en la parte final en la que caen los últimos granos, la aceleración debe ser distinta de cero para "iniciar" y "detener" este movimiento del centro de masa.

Answer 2

Imagine un reloj de arena con una sola piedra en su interior. Cuando la piedra empiece a caer una balanza se detendrá para medir su peso, pero medirá un pico correspondiente al momento en que toque el fondo. Cuanto mayor sea el tiempo de aire, mayor será el pico. Es como concentrar el peso de la piedra en un intervalo de tiempo muy concreto: cuando golpea. Sin embargo, el peso medio a lo largo del tiempo de caída es exactamente el peso total con la piedra en el fondo.

Volviendo a la arena, lo único que cambia es que en lugar de un gran pico, tienes un montón de pequeños picos en el peso. Así que usted no tiene que esperar un tiempo de caída para obtener el peso estático como un promedio y una escala promedio por sí mismo inercia mostrando siempre el mismo peso. Sin embargo si encuentras una balanza con una resolución sobresaliente tanto en masa como en tiempo de acuerdo al tamaño de los granos, podrás ver estos picos.

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Bueno, cómo probar que sólo estamos concentrando el peso en el tiempo. Creo que un argumento bastante simple, todavía eficaz se encuentra en la relación de nivel de secundaria:

$$m \Delta v = F \Delta t$$

El momento adquirido por la roca durante la caída libre es:

$$M_f = m g T$$

durante el impacto la velocidad se mata en un tiempo $t$ y así el impulso, llamando $a$ la aceleración implicada que tenemos (modulo cualquier signo que sea trivial de arreglar):

$$ m g T = m a t $$

Ahora está claro que

$$ m a = m g \frac{T}{t} $$

Esto significa que, si durante un tiempo $T$ no medimos el peso de la piedra, entonces durante un tiempo $t$ medimos un peso $\frac{T}{t}$ veces mayor. La media en el tiempo es igual a:

$$\frac{0\cdot T+mg\frac{T}{t} \cdot t+mg\cdot t}{T+t} = mg$$

El primer término está relacionado con el tiempo de vuelo (fuerza nula), el segundo es la fuerza que mata el impulso a lo largo de un tiempo $t$ y por el mismo tiempo $t$ también actúa el peso natural de la roca.

Si hay algo de resistencia del aire, transmitirá algo de fuerza a la balanza mientras la piedra está cayendo, en la expresión media trasladará algo de fuerza del segundo término al primero. La idea es que durante el tiempo de caída la balanza mide la resistencia, pero entonces la velocidad es un poco menor cuando la piedra choca. Esto se demostraría de forma similar a la anterior.

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En realidad hay que buscar las fuentes de cambio de peso en la famosa ecuación: $E=mc^2$ . La energía de la arena hacia abajo, será un poco menos y por lo que es la masa.

Al mismo tiempo se podría considerar que al acercarse a la superficie de la Tierra la gravedad es un poco mayor, por lo que el peso de la arena hacia abajo un poco más.

Ambos efectos distan mucho de ser mensurables.

Answer 3

En efecto, el peso aparente es mayor cuando el reloj de arena está en marcha que en reposo. Véase aquí para una descripción detallada. Este efecto se ha comprobado incluso experimentalmente.

En pocas palabras: el efecto neto del flujo es desplazar la arena desde la superficie superior (donde tiene una velocidad descendente $v$ ) a la pila inferior, en reposo. Así, la arena es desaceleración y la fuerza sobre la balanza es mayor que en reposo.

Answer 4

Supongamos que estás sobre una torre que está en una escala. Salta. Mientras estás en el aire, ¿qué marca la balanza? (Supongamos aquí que aterrizarás sobre la balanza, por lo que la analogía con los granos de arena se mantiene).

Answer 5

Hay que tener en cuenta varias cosas.

En primer lugar, el "reloj de arena". Si este recipiente está lleno de aire, los resultados serán mucho más complejos de determinar.

En segundo lugar, el diámetro de los granos y su uniformidad influirán en las mediciones.

En tercer lugar, el tamaño de la abertura también influirá en el flujo de grano.

En cuarto lugar, la sensibilidad de la escala en relación con el tiempo y la masa.

En una situación perfecta, la balanza bajaría y subiría para cada grano individual a medida que sale de la abertura y comienza la caída libre y, finalmente, golpea la arena/fondo del recipiente.

En cuanto al fondo de la cuestión, sería extremadamente improbable, me atrevería a decir imposible, que una medición con la sensibilidad suficiente se desplazara perfectamente al mismo ritmo que el flujo de arena.

En una nota lateral pensando en este experimento a medida que la pila de arena crece en la parte inferior perderás algo de impulso cuando el grano golpee a otros y los empuje hacia los lados lo que eventualmente golpearía otros granos o la parte inferior y causaría más picos.