En mi libro se calcula el $28$ enésimo número de Fibonacci y dijo $F_{28} = 3 \times 13 \times 19 \times 281 = 317811$. Este hecho me pregunto si había una manera más fácil para encontrar el $28$ enésimo número de Fibonacci que haciéndolo a mano.
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David HAust
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2696
Pueden computar por exponenciación de la matriz, que es rápido por cuadratura repetida. Recordar $$ \left (\begin{array}{ccc} \,1 & 1 \\\ 1 & 0 \end{matriz} \right) ^ {\large n} \ = \ \left(\begin{array}{ccc} F_{\large n+1} & F_{\large n} \\\ F_{\large n} & F_{\large n-1} \end{array}\right) $$
Más simplemente $ $ si $\: (a,b)_{\large n} := (f_{\large n-1},\,f_{\large n}),\ $ luego aplicar los rendimientos anteriores
que es de un $\:\rm\color{#0a0}{shift}\:$ $\ (a,b)_{\large n}\color{#0a0}\Rightarrow(b,\,a+b)_{\large n+1}\ $
y $\,\rm\color{#c00}{doubling}$ $\ (a,b)_{\large n} \color{#c00}\Rightarrow (a^2\!+b^2,\,b^2\!+2ab)_{\large 2n}.\ $ por ejemplo, vamos a calcular su $\, F_{\large 28}$
$$(0,1)_{\large 1}\!\color{#0a0}\Rightarrow (1,1)_{\large 2}\color{#0a0}\Rightarrow (1,2)_{\large 3} \color{#c00}\Rightarrow (5,8)_{\large 6}\color{#0a0}\Rightarrow (8,13)_{\large 7}\color{#c00}\Rightarrow (233,377)_{\large 14}\color{#c00}\Rightarrow(\ldots,317811)_{\large 28}$$
es computable usando solamente Aritmética mental (excepto posiblemente el paso final).
MrYouMath
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1809
Hay una fórmula que ahora se llama fórmula de Binet, pero era ya conocido por Euler y Daniel Bernoulli, de Moivre,
%#% $ de #% en que $$F_n=\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}+(-1)^{n+1}\frac{\phi^{-n}}{\sqrt{5}},$ es la proporción áurea.
El resultado de Brian M. Scott sigue por una estimación del segundo término.
m0j0
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181
Hay identidades que se relacionan con $F_n$ y $F_{kn}$ como este:
$$F_{4n} = 4F_nF_{n+1}(F_{n+1}^2 + 2F_n^2) - 3F_n^2(F_n+2F_{n+1}^2)$$
Aquí puedes expresar $F_{28}$ $F_7=13$ y $F_8=21$.
cavern101
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