¿Cuál es la diferencia entre "función de densidad de probabilidad" y "función de distribución de probabilidad"?

Question

¿Cuál es la diferencia entre función de densidad de probabilidad y función de distribución de probabilidad ?

Answer 1

Función de distribución

1. La función de distribución de probabilidad / función de probabilidad tiene una definición ambigua. Se puede hacer referencia a ella:
   • Función de densidad de probabilidad (PDF)
   • Función de distribución acumulativa (FDC)
   • o función de masa de probabilidad (PMF) (declaración de Wikipedia)
2. Pero lo que confirma es:
   • Caso discreto: Función de masa de probabilidad (PMF)
   • Caso continuo: Función de densidad de probabilidad (PDF)
   • Ambos casos: Función de distribución acumulativa (FDC)
3. Probabilidad en ciertos $x$ valor, $P(X = x)$ se puede obtener directamente en:
   • PMF para el caso discreto
   • PDF para el caso continuo
4. Probabilidad para valores inferiores a $x$ , $P(X < x)$ o Probabilidad para valores dentro de un rango de $a$ a $b$ , $P(a < X < b)$ se puede obtener directamente en:
   • CDF para el caso discreto / continuo
5. La función de distribución se denomina FCD o Función de Frecuencia Acumulada (véase este )

En cuanto al método de adquisición y generación de parcelas

1. Los datos recogidos aparecen como discretos cuando:
   • La medición de un sujeto es naturalmente de tipo discreto, como los números resultantes de los dados lanzados, el recuento de personas.
   • La medición es un dato digitalizado de la máquina, que no tiene valores intermedios entre los niveles cuantificados debido al proceso de muestreo.
   • En el caso posterior, cuando la resolución es mayor, la medición se acerca más a la señal analógica/continua/variable.
2. Forma de generar un PMF a partir de datos discretos:
   • Trazar un histograma de los datos para todos los $x$ 's, el $y$ -eje es la frecuencia o cantidad en cada $x$ .
   • Escala la $y$ -eje dividiendo con el número total de datos recogidos (tamaño de los datos) $\longrightarrow$ y esto se llama PMF.
3. Forma de generar un PDF a partir de datos discretos / continuos:
   • Encuentre una ecuación continua que modele los datos recogidos, digamos la ecuación de la distribución normal.
   • Calcule los parámetros necesarios en la ecuación a partir de los datos recogidos. Por ejemplo, los parámetros de la ecuación de la distribución normal son la media y la desviación estándar. Calcúlalos a partir de los datos recogidos.
   • A partir de los parámetros, trazar la ecuación con la continua $x$ -valor $\longrightarrow$ que se llama PDF.
4. Cómo generar un CDF:
   • En el caso discreto, la FCD acumula la $y$ valores en PMF en cada discreto $x$ y menos de $x$ . Repite esto para cada $x$ . El gráfico final es un aumento monótono hasta $1$ en el último $x$ $\longrightarrow$ esto se llama CDF discreta.
   • En caso continuo, integrar el PDF sobre $x$ el resultado es una FCD continua.

¿Por qué PMF, PDF y CDF?

1. El PMF es preferible cuando
   • Probabilidad en cada $x$ valor es el interés del estudio. Esto tiene sentido cuando se estudia un dato discreto, como cuando nos interesa la probabilidad de obtener un número determinado al tirar un dado.
2. Se prefiere el PDF cuando
   • Queremos modelar un dato recogido con una función continua, utilizando pocos parámetros como la media para especular la distribución de la población.
3. Se prefiere el CDF cuando
   • La probabilidad acumulada en un rango es el punto de interés.
   • Especialmente en el caso de datos continuos, la FCD tiene mucho más sentido que la FDP; por ejemplo, la probabilidad de que la altura de los estudiantes sea inferior a $170$ cm (CDF) es mucho más informativa que la probabilidad en el momento exacto $170$ cm (PDF).

Answer 2

La relación entre la función de densidad de probabilidad $f$ y la función de distribución acumulativa $F$ es...

• si $f$ es discreto: $$ F(k) = \sum_{i \le k} f(i) $$

• si $f$ es continua: $$ F(x) = \int_{y \le x} f(y)\,dy $$

Answer 3

Existe un cierto abuso del lenguaje en estos términos, que puede variar. A continuación se muestra un uso común.

En el caso continuo ( densidad ):

(continuous) probability distribution function = probability density function = density function
(continuous) probability distribution = density

En el caso discreto ( masa/distribución ):

(discrete) probability distribution function = probability mass function
(discrete) probability distribution = distribution

Curiosamente, es posible que nunca se vea un probability mass function llamado mass function o un distribution function ni puede ver un discrete probability distribution llamado mass . Estoy seguro de que hay alguna razón histórica para ello. Como se dice, esto siempre ha sido así y siempre será así .