¿Cuál es el punto de una base local?

Question

¿Qué es todo el alboroto sobre las bases? Me parece que todo el mundo me mira la gente se confunde la noción de una base local, y, francamente, yo soy así, porque me parece que es equivalente a un increíblemente simple formulación, sino a todos los demás expone sin cesar en "filtros" y "filtro de bases" y viene con estas elaboradas expresiones lógicas.

La definición de una "base local" que he aprendido es que si $x\in X$ donde $(X,\ \tau)$ es un espacio topológico, y $N_x$ es el barrio de filtro de $x$ (es decir, el conjunto de los barrios de $x$), luego una base local de $x$ es un subconjunto $B_x\subset N_x$ tal que $\forall A\in N_x$ hay algo de $B\in B_x$ tal que $B\subseteq A$.

Muy bien, entonces, ¿por qué no tomamos $B_x$ a ser el conjunto de abrir los conjuntos que contengan $x$? Que hace perfecto sentido para mí, ya que cada barrio debe contener algún conjunto abierto, y por lo que la anterior lógica de la formulación de una base local está satisfecho. Hay que ir, boom. Nada de especial. No hay filtros ni nada. Limpio y sencillo.

Entonces, ¿por qué topologists hacer tanto escándalo de los locales de las bases? Hay de todo esto en la "primera contable" y "segunda contable" y parece que todos los axiomas de separación de espacios topológicos son arraigada en la idea de bases (algunos locales, globales, por lo que puedo decir). La definición de un localmente convexa PLANA usos locales de las bases. Veo un montón de gente confunde más de lo que una base local.

Lo que hace de local bases importantes? Por que hay gente tan confundida, incluido yo mismo que ellos? ¿Por qué es tan complicada la definición necesaria? Es porque el $B_x$ de lo que he descrito no es el único local de la base?

Answer 1

Con frecuencia, hay demasiados bloques abiertos. Es agradable ser capaz de verificar topológico afirmaciones (como la continuidad, por ejemplo) en términos de un menor subclase que es más manejable.

Como una analogía, pensemos en el concepto de base de un espacio vectorial. Es muy bueno que podamos, por ejemplo, tienen un lineal mapa completamente determinada por sus valores en una base. El concepto de base que nos ayuda a representar la totalidad de la estructura en términos de un menor, esperemos que sea más manejable subclase. Esta es la idea.

Answer 2

Es porque el $B_x$ de lo que he descrito no es el único local de la base?

Básicamente, sí. El punto de hablar de los locales de las bases es de no saber que un local de la base de que existe: como usted ha observado, que es trivial. El punto es saber que un bonito local de la base de que existe. Es decir, queremos saber que existe una base local que consta de conjuntos con ciertas propiedades atractivas, o un local de la base de que en sí tiene buenas propiedades como un conjunto (por ejemplo, siendo contables), o un local de la base de que es simplemente fácil que pensar. Normalmente la colección de todos los conjuntos que contengan $x$ no se especialy agradable, pero podría ser un local más pequeño de la base de que es mucho más agradable. Y un mejor local de la base de $B_x$ puede ser utilizado para entender la topología en $x$, ya que para comprobar si un conjunto $U$ es un barrio de $x$ sólo tienes que probar si $U$ contiene algún elemento de $B_x$.

Si usted mira todas las aplicaciones que usted se refiere, ninguno de ellos se habla acerca de si existe una arbitraria de base local. Todos ellos están hablando acerca de si existe un local de la base de que es bueno de alguna manera especial. Por ejemplo, un espacio de primera contables, si existe una contables de base local en cada punto. Este tiene todo tipo de poderosas consecuencias: por ejemplo, en una primera contables espacio de un conjunto $A$ se cierra el fib es cerrado bajo tomando límites de secuencias.