Dejemos que $a,b,c\in \mathbb N$ y $a^2+b^2=c^2$ entonces $abc$ está en paz.
Mi intento:
Si uno o dos números de $a,b,c$ son pares entonces hemos terminado, así que tendremos que demostrar que al menos uno de ellos es par.
Supongamos que $a,b$ son impar, entonces $a^2,b^2$ son impar, así que $a^2+b^2$ debe ser uniforme. Así que $c^2$ es incluso entonces $c$ está en paz. Así que $abc$ está en paz.
¿Es esto suficiente para probarlo?
Que esto se considere "suficiente para probarlo" depende de su contexto.
Su cadena de argumentos es perfectamente válida. Sin embargo, es posible que tenga que proporcionar una justificación adicional para los pasos intermedios.
Para que la idea quede más clara, supongamos que alguien pone el probem: "Demuestre que $a^2$ es impar si $a$ es impar". Entonces no podrías responder simplemente "Lo es", que es lo que haces efectivamente en tu prueba.
Para que quede claro, está bien, e incluso es inevitable, utilizar resultados ya conocidos; lo único que quiero decir es que hay que comprobar si se le permite utilizar los resultados que utiliza en su contexto. (Esto es algo que sólo tú puedes hacer.) Si este es el caso, la prueba está completa. Si no, entonces no.
Su prueba está bien.
He aquí una variante que quizás sea más sencilla.
Queremos demostrar que al menos uno de $a,b,c$ es uniforme, o lo que es lo mismo, que no pueden ser todos Impares.
Ahora considera esto:
$x$ impar implica $x^2$
$x,y$ impar implica $x+y$ incluso
Esto implica que $a,b,c$ no pueden ser todos Impares: Si lo fueran, tendríamos impar $+$ impar $=$ impar .
Obsérvese que el cuadrado de un número entero es $0$ o $1$ modulo $4$ por lo tanto. Si $$c^2\equiv0\mod{4}\Rightarrow c\equiv0\mod{2}\Rightarrow abc\equiv0\mod{2}$$ Si $$c^2\equiv1\mod{4}\Rightarrow a^2\equiv0, b^2\equiv1\mod{4}\Rightarrow a\equiv0\mod{2}\Rightarrow abc\equiv0\mod{2}$$ o $$a^2\equiv1, b^2\equiv0\mod{4}\Rightarrow b\equiv0\mod{2}\Rightarrow abc\equiv0\mod{2}$$
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