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Question

¿Qué es las partes real e imaginarias de la función $f(x)=(-2)^{x}$? ¿Hay una solución única a esta pregunta?

Answer 1

Luego desde $-2 = 2e^{i\pi}$, $\ln(-2) = \ln(2)+i(\pi+2k\pi) = \ln(2)+i(2k+1)\pi$ son los valores de logaritmo complejo de $\ln(-2)$.

Desde $a^x = e^{x\ln(a)}$, tenemos $$ \begin{align*} (-2)^x &= \exp(x\ln(-2))\\ &= \exp\left(x\Bigl( \ln(2) + i(2k+1)\pi\Bigr)\right)\\ &= \exp(x\ln(2) + ix(2k+1)\pi)\\ &= e^{x\ln(2)} e^{ix(2k+1)\pi}\\ &= 2^x\Bigl( \cos(x(2k+1)\pi) + i\sin(x(2k+1)\pi)\Bigr)\\ &= 2^x\cos(x(2k+1)\pi) + i2^x\sin(x(2k+1)\pi). \end{align*} $$ tan entero $k$, los valores de $(-2)^x$ tienen parte real $2^x\cos\Bigl(x(2k+1)\pi\Bigr)$ y $2^x\sin\Bigl(x(2k+1)\pi\Bigr)$ de la parte compleja.

Agregó. Tomar el valor principal del logaritmo (lo que requiere la parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$, entonces usar $k=0$.

Answer 2

Sugerencia: por definición, $a^x = e^{x \log a}$. Complicar: hay infinitamente muchas ramas del registro, correspondientes a las ramas de $a^x$.