Quiero resolver el siguiente problema:
Supongo que $H$ es un espacio de Hilbert si $u_{n}\rightharpoonup u$ $L^{2}(0,T;H)$ y $u'_{n}\rightharpoonup v$ $L^{2}(0,T;H^{'})$. Quiero prueba $v=u'$.
Gracias por tu ayuda.
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Giovanni
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Vamos a escribir lo que sabemos: \begin{align} \int_0^T\langle u_n(t),h(t) \rangle\,dt \to &\ \int_0^T\langle u(t),h(t) \rangle\,dt \quad \forall h \in L^2(0,T;H') \tag 1\\ \int_0^T\langle u_n'(t),h(t) \rangle\,dt \to &\ \int_0^T\langle v(t),h(t) \rangle\,dt \quad \forall h \in L^2(0,T;H)\tag 2\\ \int_0^T\varphi'(t)u_n(t)\,dt = &\ -\int_0^T\varphi(t)u_n'(t)\,dt \quad \forall \varphi \in C^{\infty}_c((0,T)). \tag 3 \end{align}
Observe que para $\varphi \in C^{\infty}_c((0,T))$ $w \in H$ tenemos que $t \mapsto \varphi(t)w \in L^2(0,T;H)$. En la siguiente me voy a identificar a $H$ con su doble $H'$. Si prefieres las tratan como diferentes espacios se pueden modificar los siguientes argumento de la introducción de Riesz lineal de isometría $J \colon H \to H'$. Para $\varphi$ $w$ ser como el anterior, tenemos:
\begin{align} \Big\langle\int_0^T\varphi'(t)u(t)\,dt,w\Big\rangle = &\ \int_0^T\langle\varphi'(t)u(t),w\rangle\,dt\\ = &\ \int_0^T\langle u(t),\varphi'(t) w\rangle\,dt\\ \overset{(1)}{=} &\ \lim_{n \to \infty} \int_0^T\langle u_n(t), \varphi'(t)w\rangle\,dt \\ = &\ \lim_{n \to \infty}\Big\langle\int_0^T\varphi'(t)u_n(t)\,dt,w\Big\rangle \\ \overset{(3)}{=} &\ \lim_{n \to \infty}\Big\langle-\int_0^T\varphi(t)u_n'(t)\,dt,w\Big\rangle \\ = &\ \lim_{n \to \infty} \int_0^T-\langle u_n'(t),\varphi(t)w\rangle\,dt \\ \overset{(2)}{=} &\ \int_0^T-\langle v(t),\varphi(t)w\rangle\,dt \\ = &\ \Big\langle-\int_0^T\varphi(t)v(t)\,dt,w\Big\rangle. \end{align}
Comparando el primer y el último paso en la anterior cadena de igualdades obtenemos
$$\Big\langle\int_0^T\varphi'(t)u(t)\,dt + \int_0^T\varphi(t)v(t)\,dt ,w\Big\rangle = 0.$$ Since this holds for every $w \H$ we can conclude that $$\int_0^T\varphi'(t)u(t)\,dt = -\int_0^T\varphi(t)v(t)\,dt.$$ Since this holds for every test function $\varphi$, obtenemos el resultado deseado.
BrianB
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Su problema es un corolario de la siguiente
Teorema: Vamos a $Y$ ser un espacio de Banach tal que $Y'$ tiene el Radón Nikodym propiedad, $X$ un espacio de Banach continuamente incrustadas en $Y$$1\leq p,q\leq\infty$. Si $$\left\{\begin{align}u_k\rightharpoonup u\quad&\mbox{in}\quad L^p(0,T;X),\\ u_k'\rightharpoonup v\quad&\mbox{in}\quad L^q(0,T;Y),\end{align}\right.$$ a continuación,$u'=v$.
Bosquejo de la prueba:
Desde $X\hookrightarrow Y$, obtenemos $L^p(0,T;X)\hookrightarrow L^1(0,T;Y)$$L^q(0,T;Y)\hookrightarrow L^1(0,T;Y)$. Por lo tanto,
$$\left\{\begin{align}u_k\rightharpoonup u\quad&\mbox{in}\quad L^1(0,T;Y),\\ u_k'\rightharpoonup v\quad&\mbox{in}\quad L^1(0,T;Y).\end{align}\right.$$
Como $Y'$ tiene el Radón Nikodym de la propiedad, se sigue que
$$\left\{\begin{align}\int_0^T u_k\varphi'\,dt&\rightharpoonup \int_0^T u\varphi'\,dt &\mbox{in}\quad Y,\\ \int_0^T u_k'\varphi\,dt&\rightharpoonup \int_0^Tv\varphi\,dt &\mbox{in}\quad Y,\end{align}\right.$$ para todos los $\varphi\in C_c^\infty(0,T)$. Pero, por definición, de la debilidad de la derivada, tenemos $$\int_0^T u_k\varphi'\,dt=-\int_0^T u_k'\varphi\,dt,\quad \forall\ \varphi\in C_c^\infty(0,T)$$ de modo que (por la singularidad de los débiles límite) $$\int_0^T u\varphi'\,dt=-\int_0^T v\varphi\,dt,\quad \forall\ \varphi\in C_c^\infty(0,T).$$
Por lo tanto, $u'=v$.
Adenda. Para demostrar que la debilidad de la convergencia en $L^1(0,T;Y)$ implica que la debilidad de la convergencia de las integrales en $Y$, tenemos la surjectivity de una cierta asignación de $L^\infty(0,T;Y')$ $L^1(0,T;Y)'$(como se ha esbozado aquí). Esta asignación es surjective si $Y'$ tiene el Radón Nikodym de la propiedad (lo que ocurre, por ejemplo, si $Y$ es separable reflexivo o si $Y$ es de Hilbert).
