Confusión con respecto a Riesz ' lema s

Question

Wikipedia (mi maestro) estado de Riesz del lema de la siguiente manera:

Deje $X$ ser una normativa espacio lineal y $Y$ ser un subespacio en $X$. Si no existe $0 < r < 1$ tal que para cada a$x\in X$$||x|| =1$ , uno ha $d(x, Y) < r$, $Y$ es denso en $X$.

Wikipedia luego va a decir

En otras palabras, por cada apropiado subespacio cerrado Y, uno siempre puede encontrar un vector x en la unidad de la esfera de X tal que d(x, Y) es menor que y arbitrariamente cerca de 1.

De hecho, esta es la forma en que Riesz del lema se declaró en varios otros lugares (por ejemplo, el apéndice B del libro el Sabor de la Topología de Volker Runde).

Ahora, no veo cómo estas dos declaraciones son tan rápidamente equivalente. La segunda parece ser el contrapositivo de la primera.

Pero esto significaría que "no subespacio denso" es el mismo como "adecuada subespacio cerrado".

Esto no parece ser cierto: yo pensaba, por ejemplo, de $C([0,1])$, el espacio de funciones continuas en $[0,1]$ con el supremum de la norma, y de la subespacio de funciones diferenciables. Es un subespacio denso que no está cerrado.

Lo que es (obviamente) cierto es que el buen subespacios cerrados no son densos.

Así, corrígeme si me equivoco, pero parece que al decir "en otras palabras" es errado, ya que la segunda declaración es más fuerte que la primera.

Es mi razonamiento correcto?

Answer 1

Las declaraciones son equivalentes, porque no ser denso es equivalente a la de cierre de ser apropiado, y la distancia a un conjunto es igual a la distancia a su cierre. La segunda declaración es, por tanto, una reformulación de la contrapositivo de la primera.

Más explícitamente, la segunda declaración se desprende directamente de la contrapositivo de la primera, porque, como usted ha mencionado, la adecuada subespacios cerrados no son densos. El contrapositivo de la primera instrucción de la siguiente manera a partir de la segunda porque si $Y$ no es densa, a continuación, $\overline{Y}$ es un buen subespacio cerrado, así que por la segunda instrucción no son vectores unitarios en $X$ cuyas distancias a $\overline{Y}$, y, por tanto, a $Y$, son arbitrariamente cerca de $1$.