Lineal holomorphic función

Question

Si $f$ es un holomorphic función en un simplemente conectado dominio abierto $\Omega$, e $f$ es una función lineal en el límite $\Omega$, es decir,$f=az+b$$\partial\Omega$. Entonces, puedo decir que $f$ es también lineal de la función en $\Omega$?

Answer 1

Desde $f(z)=az+b$, en el límite, sabemos $g(z):=f(z)-az-b=0$$\partial \Omega$. Por el máximo módulo principio, $g(z)=0$ todos los $z\in\Omega$, o lo que es equivalente, $f(z)=az+b$.