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Primos más pequeños de la forma 41033333333...?

¿Cuál es el más pequeño de los primos de la forma 410333333333.... ? Se debería tener más de 10 000 dígitos.


[añadido de respuesta publicada de 2013 26 de Mayo a las 20:52 por Peter]

Pensé que iba a ser claros, pero parece que no. Por supuesto, después de 410 , sólo 3 se debe seguir. De lo contrario, sería muy fácil para encontrar los números primos. He comprobado los números hasta 10 000 dígitos, pero claro, yo estaría encantado si alguien comprueba esto, también.

Yo no entienda la pregunta, ¿por QUÉ este número es interesante para mí. Los números primos de Mersenne no son tan mucho más interesante, pero recientemente un premio de 100,000 $ fue pagado por una comunidad la búsqueda de un 17 millones de dígitos de mersenne prime. Me hubiera mejores ideas de qué hacer con todo ese dinero ...

13voto

Zander Puntos 8843

Supongo que $(1231\times 10^{6\times 6233}-1)/3$, que es con 37,398 grupos de tres. (PFGW llama un probable primer a base de 2,3,5,7.)

Deje $a(n)=(1231\times 10^n-1)/3$. Entonces, si un prime $p$ divide $a(n)$, luego $$ 10^n \equiv 1231^{-1} \pmod{p} \\ 10^{n+k\cdot\mathrm{ord}_p10} \equiv 1231^{-1} \pmod{p} \\ p \mediados de los a(n+k\cdot \mathrm{ord}_p10) $$ donde $\mathrm{ord}_p10$ es el menor exponente $i$ que $10^i\equiv 1\pmod{p}$. Así, por ejemplo, $$ 11 \mediados de los a(2k+1) \\ 41 \mid(5k) \\ 35 \mid(3k+2) \\ 47 \mid(46k+10) $$ y así sucesivamente.

Si $n_2$ satisfaga uno o más de estos para un primer $p$$k>1$, entonces no debe ser menor $n_1$$k=0$$p \mid \gcd(a(n_2),a(n_1))$. Desde el DPC puede ser calculada de forma rápida, por $n>10368$ y divisible por 6 me candidatos identificados donde $\gcd(a(n),a(i))=1$ durante varias opciones de $i<n$. Esta eliminado aproximadamente el 95% de los casos, he hecho una lista del resto y probado sobre 1000 antes de encontrar uno que se informó como un probable prime.

3voto

David-W-Fenton Puntos 16613

41033333333323 = 41033333333300 + 23 es primo. Así es 4103333333333333333333000159.

Conjunto $x= 4103333333333333333333...$ ($k$ veces 3). A continuación,$\log x \approx 6 + 2.3 \cdot k$. Por el Teorema de los números Primos, usted encontrará un primo de la forma $10^nx + r, \, r < 10^n$ con una probabilidad alta (digamos 0.999999) si $10^n > 100 + 30k$ o así. Es decir, $n \ge 3 + \log_{10} k$ debería ser suficiente.

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