Al probar $n = \sum_{d\mid n}\varphi(d)$

Question

$\def\nset{\{1,\dots,n\}}$ Estoy tratando de elaborar mi propia prueba 1 de la fórmula clásica de Euler

$$n = \sum_{d\mid n}\varphi(d)\;.$$

Estoy buscando algunas indicaciones sobre la terminología y/o notación estándar, como se explica con más detalle a continuación.

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Dejemos que $\Phi(t)$ sea el set de enteros positivos $s \leq t \in \def\dom{\mathrm{dom}}\dom(\varphi)$ tal que $\gcd(s, t) = 1$ . Por lo tanto, $|\Phi(t)| = \varphi(t)$ . Además, deja que

$$u \, \Phi(t) := \{uv\mid v \in \Phi(t)\}\;.$$

Por último, dejemos que $\Delta_t$ representan el conjunto de todos los divisores positivos de $t \in \dom(\varphi)$ . (Con esta notación, la fórmula de Euler se convierte en $n = \sum_{d\in\Delta_n}\varphi(d)$ .)

Mi estrategia de prueba 2 es demostrar que, para cualquier número entero positivo $n$ el conjunto $\nset$ puede ser con particiones en subconjuntos de la forma $d\,\Phi(n/d)$ , donde $d$ se extiende sobre $\Delta_n$ . Por lo tanto,

$$\{1,\dots,n\} = \bigcup_{d\in\Delta_n} d\,\Phi\left(\frac{n}{d}\right)\,,$$

donde los conjuntos en la unión son disjuntos por pares. La fórmula de Euler es entonces un corolario de este resultado, ya que $|d\,\Phi(n/d)| = |\Phi(n/d)| = \varphi(n/d)$ y $\sum_{d\in\Delta_n}\varphi(n/d) = \sum_{d\in\Delta_n}\varphi(d)$ .

Mi pregunta es: ¿hay estándar ¿nomenclatura y/o notación para alguno de los elementos de esta estrategia de prueba? En particular, estoy más interesado en la nomenclatura/notación estándar para los siguientes elementos:

• el conjunto $\Phi(t)$ ;
• el conjunto $\Delta_n$ ;
• cualquiera de las funciones de $\Delta_n$ dado por
  • $d\mapsto \varphi(\frac{n}{d})$ ;
  • $d\mapsto \Phi(\frac{n}{d})$ ;
  • $d\mapsto d\,\Phi(\frac{n}{d})$ ;
• la descomposición $\bigcup_{d\in\Delta_n} d\,\Phi(\frac{n}{d})$ .

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Adenda:

OK, FWIW, aquí está el resto de la prueba: $$ \begin{array}{rclcrcl} m & \in & d\,\Phi\left(\frac{n}{d}\right) & \Leftrightarrow & \frac{m}{d} & \in & \Phi\left(\frac{n}{d}\right) \\ & & & \Leftrightarrow & 1 & = & \gcd\left(\frac{m}{d}, \frac{n}{d}\right) \\ & & & \Leftrightarrow & d & = & \gcd(m, n)\;. \end{array} $$

El $\Rightarrow$ Las implicaciones anteriores muestran que los subconjuntos $d\, \Phi(n/d)$ , como $d$ se extiende sobre $\Delta_n$ son disjuntos por pares.

Además, como $\gcd(m, n) \in \Delta_n$ para todos $m \in \nset$ se deduce de la $\Leftarrow$ implicaciones anteriores que

$$\nset \subseteq \bigcup_{d\in\Delta_n} d\,\Phi(\frac{n}{d})\;.$$

Por otro lado $\forall s \in \Phi(t)$ tenemos $1 \leq s \leq t$ . De ello se desprende que

$$d \in \Delta_n \;\;\land\;\; m \in d \, \Phi(\frac{n}{d}) \;\;\Rightarrow\;\; 1 \leq d \leq m \leq n\;,$$

y, por lo tanto,

$$\nset \supseteq \bigcup_{d\in\Delta_n} d\,\Phi(\frac{n}{d})\;,$$

lo que completa la prueba.

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_{¹He leído, e incluso "seguido", algunas pruebas de esta fórmula, pero de alguna manera sigue siendo un poco misteriosa/mágica/mistificante para mí: ¿cómo pudo alguien verla? Por supuesto, la respuesta estándar a la última pregunta es algo así como "¡siendo Leonhard Euler, así es como!", lo que para mí es inútil. Al elaborar una prueba, mi objetivo es encontrar una respuesta más útil, al menos para mí.}

_{²No pretendo ser original. Si esta estrategia es en absoluto correcta, estoy seguro de que no soy el primero en pensar en ella.}

Answer 1

Sólo un comentario largo; no veo que la wikipedia muestre la prueba más satisfactoria, que es que la función $$f(n) = \sum_{d\mid n}\varphi(d)$$ tiene la propiedad llamada "multiplicativa" en la teoría de los números; es decir, dados los enteros $a,b > 0,$ tenemos $$\gcd(a,b) = 1 \; \; \Longrightarrow \; f(ab) = f(a) f(b). $$ Esto requiere una prueba, por supuesto, un ejercicio digno. La siguiente parte consiste en verificar la ecuación deseada para los primos y las potencias primos. Así, dado el primo $p,$ qué son $f(p)$ y $f(p^2),$ por ejemplo, y por qué?

Ahora que lo pienso, dada cualquier función multiplicativa $g(n),$ cuando definimos $$h(n) = \sum_{d\mid n}g(d),$$ se deduce que $h(n)$ también es multiplicativo. Eso explica muchas cosas.