Es un poco de un rompecabezas para trabajar fuera de la región de integración y una buena forma de expresarlo, usando los límites de integración. A priori, el hecho de que un grupo de "límites" son arrojados fuera por un problema no nos dice si la región es en realidad finita (de un número finito de volumen en este caso), e incluso si es así, podría no ser capaz de empaquetar la región con un único conjunto de anidado integral de los signos y sus correspondientes límites de integración.
Sin una foto para que nos guíe, yo probablemente a empezar desde el principio de la lista, asumiendo algunos de buena fe por parte de el problema del constructor. Ahora $x \ge 0$ es fácil de expresar, por sí mismo. Si ponemos $x$ como la variable para el exterior de la integración, a continuación, los dos anidada integrales pueden tener los límites que dependen de la $x$ valor de referencia en el exterior de la integración.
"Delimitada por el $xy$-avión" es un poco ambiguo. El $xy$-plane es donde $z=0$, así como un límite a esto significa que tanto la restricción de a $z \ge 0$ o $z \le 0$, de un lado o del otro. Vamos a mantener una mente abierta cuando analizamos el resto de las piezas de la frontera rompecabezas.
Aha! La superficie de la $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ aclara las cosas. Por un lado, el signo de la raíz cuadrada de manera explícita a los medios no negativo de los valores de $z$, en el límite, por lo que evidentemente es la mitad superior del espacio de $z \ge 0$ necesitamos. También este es un hemisferio, la mitad de la superficie de una pelota, por lo que restringe la integración en un volumen finito.
Voy a dejar de perseguir el resto de las piezas del rompecabezas, pero lo que en última instancia lo que esperamos hacer es expresar de la región utilizando anidada de los límites de la integración, algo como esto:
$$ \int_0^c \int_{f(x)}^{g(x)} \int_{u(x,y)}^{v(x,y)} p(x,y,z) dz dy dx $$
donde la notación funcional he utilizado debe ser reemplazado por algunas de sus expresiones, y he asumido $x$ para el exterior de la integración, $z$ para el interior de integración.
He dejado una particularmente difícil trabajar, tal vez con la ayuda de un dibujo. El problema dice $y = -2x$ es parte de la frontera, sino de qué lado de este plano es la región? Es $y$ supone estar por encima o por debajo de $-2x$? El límite final de la pieza es descrito como el $xz$-plano, que es donde $y = 0$. ¿Cómo encaja con las demás piezas?
Si el orden de integración se como he sugerido anteriormente, tendríamos que encontrar una constante $c$ que es el máximo de la gama de $x$, y he rellenado $0$ como mínimo de su rango. Los límites de integración en $y$ a depender del valor particular de $x$, y más allá de los límites de $z$ tanto $x$$y$.
La evaluación de la integral es entonces una cuestión de trabajar desde el interior hacia fuera, haciendo de la integración con respecto a la $x$ (o así lo he asumido) el pasado.
