En la respuesta de las tortugas marinas comentario en este hilo Vamos a $k$ ser un campo de número y $K \mid k$ un finita de Galois de la extensión. ¿Cuál es la densidad del conjunto de la división de números primos de $k$? Como las tortugas de mar señaló, uno puede aprovechar Chebotarevs densidad teorema de hacer eso. Pero, ¿cómo?
Gracias :-)
Preliminar. Dado un grupo de $G$, un conjunto equipado con una acción de $G$ llamamos un $G$-set. Una de morfismos $\varphi:X\to Y$ dos $G$-conjuntos de $X$ $Y$ es un conjunto teórico mapa en el que se entrelaza con la $G$-acción, también conocido como " $G$- equivariant mapa, o $G$-mapa. Esto significa que $\varphi(gx)=g\varphi(x)$ todos los $x\in X$. Si $f$ $G$- equivariant bijection, entonces decimos que es un isomorfismo de $G$-conjuntos.
Deje $X$ $G$- set. Recordemos que una órbita es un subconjunto de a $X$ de la forma $Gx=\{gx:g\in G\}$ y un estabilizador es un subgrupo de $G$ de la forma $G_x=\{g\in G:gx=g\}$. Si $H$ es un subgrupo de $G$, no necesariamente normal, la izquierda coset espacio de $G/H$ hereda un $G$-acción.
En órbita-estabilizador teorema. La costumbre cuantitativa versión dice $|Gx|=[G:G_x]$. Un cualitativa versión del teorema dice $aG_x\mapsto ax$ es un isomorfismo $G/G_x\cong Gx$ $G$- conjuntos.
Preliminar. Recordar que si $L/K$ es un separables de la extensión global de los campos y $\frak p$ un primer de ${\frak O}_K$ a continuación, se tendrá en cuenta en la ${\frak O}_L$ ${\frak pO}_L={\frak P}_1^{e_1}\cdots{\frak P}_g^{e_g}$ para algunos de los números primos ${\frak P}_i$ ${\frak O}_L$ y exponentes $e_i$. Estos exponentes se llama la ramificación de los índices. El residuo de campo ${\frak O}_K/{\frak p}$ incrusta en el residuo de los campos de ${\frak O}_L/{\frak P}_i$ por cada $i$, y los correspondientes grados se llama el residuo de grados. La ramificación de los residuos y de los datos de satisfacer la relación $\sum_{i=1}^ge_if_i=[L:K]$. Si $e_i>1$ cualquier $i$ nos dice $\frak p$ ramifies en ${\frak O}_L$. Un primer de ${\frak O}_K$ ramifies en ${\frak O}_L$ si y sólo si se divide $\Delta_{L/K}$, la relativa discriminante. Si $L/K$ es de Galois, $G_{L/K}$ actúa transitivamente sobre $\{{\frak P}_1,\cdots,{\frak P}_g\}$. Un estabilizador ${\rm Stab}({\frak P})$ se llama la descomposición grupo $D_{{\frak P}\mid{\frak p}}$. La descomposición del grupo de $\frak P\mid p$ actúa sobre el residuo de campo ${\frak O}_L/{\frak P}$, lo que induce un surjective mapa de $D_{{\frak P}\mid{\frak p}}\to G_{l/k}$ (con $l={\frak O}_L/{\frak P}$, $k={\frak O}_K/{\frak p}$). Su núcleo es la inercia de grupo $I_{{\frak P}\mid{\frak p}}$.
Si $M/L/K$${\frak P}\mid\wp\mid{\frak p}$, la ramificación de los índices (de hecho, la descomposición en factores primos) y de residuos de grados refinar como $e({\frak P}|{\frak p})=e({\frak P}|\wp)e(\wp|{\frak p})$$f({\frak P}|{\frak p})=f({\frak P}|\wp)f(\wp|{\frak p})$. Los datos originales en $L/K$ satisfacer la relación $e_1f_1+\cdots+e_gf_g=[L:K]$. Si $L/K$ es de Galois, por orbit-estabilizador sabemos $g=[G_{L/K}:D_{{\frak P}\mid{\frak p}}]$, y $e_1=\cdots=e_g=1$, $f_1=\cdots=f_g=f$, así $|G_{L/K}|=[L:K]=$ $\sum ef=gef$, y $|G_{l/k}|=[l:k]=f$, por lo tanto $|D_{{\frak P}\mid{\frak p}}|=ef$$|I_{{\frak P}\mid{\frak p}}|=e$. Si $\frak p$ es unramified en $L$ la inercia del grupo es trivial y $D_{{\frak P}\mid{\frak p}}\cong G_{l/k}$.
El residuo grupo de Galois $G_{l/k}\cong C_f$ es puntiagudo; viene equipado con un canónica generador, la Frobenius automorphism $x\mapsto x^{|k|}$. La correspondiente preimagen de este mapa en $D_{{\frak P}\mid{\frak p}}$ (asumiendo $\frak p$ es unramified, de lo contrario tendría que ser un coset de $I_{{\frak P}\mid{\frak p}}$) es el de Frobenius elemento $\tau_{{\frak P}\mid{\frak p}}$. Desde el grupo de acciones que corresponden a la conjugación de los estabilizadores, tenemos $D_{\sigma{\frak P}\mid{\frak p}}=\sigma D_{{\frak P}\mid{\frak p}}\sigma^{-1}$ todos los $\sigma\in G_{L/K}$, y, por tanto,$\tau_{\sigma{\frak P}\mid{\frak p}}=\sigma\tau_{{\frak P}\mid{\frak p}}\sigma^{-1}$. Como $\sigma$ varía sobre todo de $G_{L/K}$, el de los números primos $\sigma{\frak P}$ variar a lo largo de todos los números primos que yace por debajo de $\frak p$, e $\tau$ traza un completo conjugacy clase en $G_{L/K}$. Esto sólo depende de $\frak p$; llamar a la clase $F_{\frak p}$.
Deje $S$ el conjunto de los números primos de $K$ unramified en $L$. Podemos poner el asintótica o la densidad de Dirichlet en $S$ - la primera parcialmente las órdenes de $S$ por las normas y la segunda utiliza $L$-función de residuos. El segundo existe siempre la primera, pero no necesariamente viceversa, y que son iguales cuando ambos existen (por lo tanto de Dirichlet, la densidad es más fácil trabajar con una reclamación acerca de la densidad asintótica es más fuerte que uno acerca de Dirichlet de la densidad). El Chebotarev Densidad theoerm afirma que la preimagen de una clase conjugacy $C\subseteq G_{L/K}$ bajo el mapa de $F:S\to G_{L/K}$ tiene una densidad de $|C|/|G_{L/K}|$, utilizando la densidad. No hay otra manera de expresar esto. Deje $R$ ser el de los números primos en $L$ mentira por encima de los de $S$. Chebotarev afirma que si empujamos la densidad de las fibras de $\tau:R\to G_{L/K}$ a una distribución de probabilidad en $G_{L/K}$, obtenemos la uniforme distribución.
La división de tipo de ${\frak p}\triangleleft{\frak O}_K$ $L$ es el conjunto múltiple de residuos grados $\{f_1,\cdots,f_g\}$. También podemos hablar de la isomorfismo tipo de $\{{\frak P}_1,\cdots,{\frak P}_g\}$ $G_{L/K}$- set. El último es en realidad un fuerte invariante; dos primos pueden tener el mismo tipo de división, pero los números primos por encima de ellos de forma diferente isoclasses de $G_{L/K}$-conjuntos (esto ocurre cuando hay nonconjugate elementos de $G_{L/K}$ de igual orden). A primera vista, la densidad teorema parece incapaz de decir nada acerca de la división de tipos, o Galois isoclasses o acerca de la no-extensiones de Galois. Sin embargo, puede ser aprovechado para todos estos fines.
Deje $L/K$ ser una extensión separable y ${\frak p}$ un unramified primer de ${\frak O}_K$. Deje $M$ ser el Galois cierre de esta extensión, por lo $M$ es de Galois sobre ambos $L$$K$. Suponga los siguientes datos:
Omitimos los subíndices siempre es irrelevante que el primer estamos hablando. En particular desde que la conocemos $M$ es de Galois sobre $L$ $K$ sabemos $f_i$ no dependen $j$ $f$ ni $i$ ni $j$.
Esta información puede resumirse en el siguiente diagrama:
Tenga en cuenta que todos los de esta información procede simplemente a partir de una sola extensión de $L/K$ y un elegido primer ${\frak p}$${\frak O}_K$. Hay sólo un número finito de números primos de $K$ que no se ramifican en $M$ (estos son los mejores ideales de la división de la relativa discriminante $\Delta_{M/K}\triangleleft{\frak O}_K$) por lo que estos pueden ser ignorados en el debate sobre las densidades de los números primos (suponemos $K$ es un campo global).
Sabemos que los grupos de Galois ley transitivamente sobre los números primos-sobre-los números primos, por lo $\{{\frak P}_{i,1},\cdots,{\frak P}_{i,g_{\large i}}\}$ es una totalidad en la $G_{M/L}$-órbita para cada una de las $i$, e $\{\{{\frak P}_{1,1},\cdots,{\frak P}_{1,g_1}\},\cdots,\{{\frak P}_{h,1},\cdots,{\frak P}_{h,g_{\large h}}\}\}$ $G_{M/L}$- órbita de la partición del conjunto de $S$ de todos los números primos $\frak P$ ${\frak O}_M$ está por encima $\frak p$${\frak O}_K$. De nuevo, desde el $G_{M/K}$ actúa transitivamente sobre $S$ podemos decir $S\cong G_{M/K}/D_{{\frak P}|{\frak p}}$ son isomorfos como $G_{M/K}$-conjuntos.
Sabemos que los grupos de Galois ley transitivamente sobre los números primos-sobre-los números primos, por lo $\{{\frak P}_{i,1},\cdots,{\frak P}_{i,g_{\large i}}\}$ es una totalidad en la $G_{M/L}$-órbita para cada una de las $i$, e $\{\{{\frak P}_{1,1},\cdots,{\frak P}_{1,g_1}\},\cdots,\{{\frak P}_{h,1},\cdots,{\frak P}_{h,g_{\large h}}\}\}$ $G_{M/L}$- órbita de la partición del conjunto de $S$ de todos los números primos $\frak P$ ${\frak O}_M$ está por encima $\frak p$${\frak O}_K$. Como $G_{M/K}$ es transitiva en a $S$ podemos decir $S\cong G_{M/K}/D_{{\frak P}|{\frak p}}$ son isomorfos como $G_{M/K}$-conjuntos. Nuestros datos satisfacer las relaciones $f_ig_i=m$$r_if_i=f$, por lo tanto $r_i=(f/m)g_i$$g_i=(m/f)r_i$. Por lo tanto, la división tipo de $\frak p$ $L$ se pueden leer de los tamaños de celda de la $G_{M/K}$-órbita de la partición de $G_{L/K}/\langle\tau_{{\frak P}|\frak p}\rangle$ para cualquier elección de primer a ${\frak P}$ $M$ está por encima $\frak p$. Pero Chebotarev puede decir cosas acerca de $\tau_{{\frak P}|{\frak p}}$! Ahora podemos concluir:
Extendido Chebotarev Densidad Teorema. Decir $M/K$ es de Galois y $L$ intermedio. Deje $H$ ser representante de una clase conjugacy de los subgrupos de $G_{M/K}$. Entonces
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
