5 votos

Demostrando Forma de Lagrange del Resto por el Polinomio de Taylor

Así que me puse a la infame "la prueba se deja como un ejercicio" de el libro cuando traté de buscar cómo obtener la forma de Lagrange del resto por un polinomio de Taylor. Esto es correcto?

Dado

$R_{n}(x)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}f^{n+1}(t)(x-t)^{n}dt$,

averiguar por qué

$R_{n}(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{n+1}(c)x^{n+1}$ algunos $c\in [0,x]$

De acuerdo con la FTC,

$\int_{0}^{x}f'(t)dt = f(x) - f(0)$

También, de acuerdo con el Valor medio Teorema, existe un $c$ tal que

$f'(c)(x-0)=f(x)-f(0)$

así

$\int_{0}^{x}f'(t)dt = f'(c)(x-0)$

encontrar la derivada de ambos lados con respecto a $x$:

$f'(x) = f'(c)$

así

$f^{n+1}(x) = f^{n+1}(c)$

Volviendo a la forma integral de la resta:

$R_{n}(x)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}f^{n+1}(t)(x-t)^{n}dt$,

Me reemplace $f^{n+1}(x)$ $f^{n+1}(c)$ (Este es el paso que yo estoy más que seguro de)

Desde $f'(c)$ es una constante, me tire de ella fuera de la integral y de integrar lo que queda debajo de la integral, darme

$R_{n}(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{n+1}(c)x^{n+1}$ algunos $c\in [0,x]$

Si esto es correcto, entonces significa que $f'(c)$ es el valor promedio de $f'(x)$$0$$x$?

Lo siento si mi Látex/redacción/la prueba está apagado. Agradecería cualquier corrección/respuestas para ser lo más simple (la notación-sabio) como sea posible, por favor - 1er año de pregrado aquí...

10voto

Alex Bolotov Puntos 249

No, no es correcto.

$$f'(c) (x-0) = f(x) - f(0)$$ is true, but $c$ depends on $x$.

Así que es algo como

$$f'(c_x) (x-0) = f(x) - f(0)$$

Así que derivado de la $f'(c) x $ no es realmente $f'(c)$.

Y el paso de

$f'(x) = f'(c)$ $f^{n+1}(x) = f^{n+1}(c)$también es incorrecto. Si $c$ es constante (de acuerdo a la prueba), entonces la derivada en el lado derecho se convierte en $0$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X