Así que me puse a la infame "la prueba se deja como un ejercicio" de el libro cuando traté de buscar cómo obtener la forma de Lagrange del resto por un polinomio de Taylor. Esto es correcto?
Dado
$R_{n}(x)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}f^{n+1}(t)(x-t)^{n}dt$,
averiguar por qué
$R_{n}(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{n+1}(c)x^{n+1}$ algunos $c\in [0,x]$
De acuerdo con la FTC,
$\int_{0}^{x}f'(t)dt = f(x) - f(0)$
También, de acuerdo con el Valor medio Teorema, existe un $c$ tal que
$f'(c)(x-0)=f(x)-f(0)$
así
$\int_{0}^{x}f'(t)dt = f'(c)(x-0)$
encontrar la derivada de ambos lados con respecto a $x$:
$f'(x) = f'(c)$
así
$f^{n+1}(x) = f^{n+1}(c)$
Volviendo a la forma integral de la resta:
$R_{n}(x)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}f^{n+1}(t)(x-t)^{n}dt$,
Me reemplace $f^{n+1}(x)$ $f^{n+1}(c)$ (Este es el paso que yo estoy más que seguro de)
Desde $f'(c)$ es una constante, me tire de ella fuera de la integral y de integrar lo que queda debajo de la integral, darme
$R_{n}(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{n+1}(c)x^{n+1}$ algunos $c\in [0,x]$
Si esto es correcto, entonces significa que $f'(c)$ es el valor promedio de $f'(x)$$0$$x$?
Lo siento si mi Látex/redacción/la prueba está apagado. Agradecería cualquier corrección/respuestas para ser lo más simple (la notación-sabio) como sea posible, por favor - 1er año de pregrado aquí...
