La derivada de $x^0$

Question

Por alguna razón, no he sido capaz de encontrar una respuesta clara a esto.

Sabemos que $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Y esto es cierto para $n=-1$ y $n=1$ $\implies$ $\frac{d}{dx}x^{-1}=-1x^{-2}$ y $\frac{d}{dx}x^1=1$

También sabemos que $\frac{d}{dx}C=0$ donde $C$ es una constante.

Supongamos que $f(x)=x^0$.

Obviamente cualquier número a la potencia cero es $1$, es decir,$x^0=1$, e $\frac{d}{dx}1=0$, pero $x$ no es una constante. Por eso, $$\frac{d}{dx}x^0=x^{-1}$$ ¿Es esto cierto? Mi pensamiento es posiblemente. Basado en el hecho de que si $\frac{d}{dx}x^1=1$ y, obviamente, cualquier valor a la potencia de uno es igual a ese valor. I. e. $x^1$ simplifica a ser $C$ constante, sino $\frac{d}{dx}x^1\not=0$, y sabemos que $\frac{d}{dx}C=0$. Así que es cierto que $f'(x)=x^{-1}$? Esperemos que esta no es la manera más simple de lo que yo estoy haciendo.

ACTUALIZACIÓN:

Yo, obviamente, cometió un error diciendo que $\frac{d}{dx}x^0=x^{-1}$ Es realmente sería evaluar directamente como $0\times x^{-1}$

Answer 1

Usted está incorrectamente la aplicación de la energía de la regla. Tenemos que $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Para $x^0$, $n = 0$. Por lo $\frac{d}{dx}x^0 = 0x^{-1} = 0$.

$x^1$ no simplificar en una constante. $x^1$ es sólo $x$, que es nada, pero constante.

Answer 2

Si usted sigue su pensé que usted debe obtener $n=0$ y, a continuación,

$$\frac{d}{dx}x^0=0\cdot x^{0-1}=0$$

EDITAR

Después de que Thomas comentario me di cuenta de que, de hecho, podemos definir $0^0=1$ (https://www.quora.com/What-is-0-0-the-zeroth-power-of-zero-1/answers/1373648?). Y, a continuación, $0$ está en el dominio de la función.

Answer 3

Los símbolos no son mágicos.

$f(x) = x^0$ $f(x) = 1; x \ne 0;f(0) $ indefinido.

$f'(x) = 0; x \ne 0$. Debido a $f$ es una función constante. Eso es todo allí está a él.

Si uno quiere ser inteligente, o los llamados inteligentes.

$f(x) = x^k; k = 0$ $f'(x) = kx^{k-1} = 0*x^{-1} = 0; x \ne 0$

así que todo lo que es consistente. Pero no es magia.

Answer 4

Esta es realmente una pregunta interesante: Para proporcionar un contexto, voy a incluir un ejemplo de una posible prueba de $f(x) = x^{n} \Rightarrow f^{'}(x) = nx^{n-1}$

A partir de la definición: $f^{'}(x) = \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\delta x) - f(x)}{\delta x}$

$\Rightarrow f^{'}(x) = \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\delta x)^{n} - x^{n}}{\delta x}$

$= \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{x^{n} + \binom{n}{1}x^{n-1}\delta x + \binom{n}{2} x^{n-2}\delta x^{2}+...+\delta x^{n} - x^{n}}{\delta{x}}$

$\Rightarrow f^{'}(x) = \binom{n}{1}x^{n-1}$

Ahora bien, si tomamos el caso de $n=0$, es claro ver que $f^{'}(x) = 0$ desde $\binom{0}{1} = 0$