El functor $\mathrm{Haus}\to\mathrm{Set}$ el envío de un espacio para su conjunto de bloques abiertos no es representable?

Question

Sé el contravariante functor $\mathrm{Top}\to\mathrm{Set}$ el envío de un espacio topológico y su conjunto de bloques abiertos es representable, con representación de objeto en el punto dos de espacio, precisamente, con un singleton de ser la única que no sea trivial conjunto abierto.

¿Por qué las cosas no funcionan en la categoría de espacios de Hausdorff?

Hacia una contradicción, supongo que el functor $F$ es representable, por lo $F(-)\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{Haus}}(-,A)$ para algunos representa el espacio de $A$. En particular, $F(A)\cong\operatorname{Hom}(A,A)$. Deje $U\in F(A)$ ser el elemento universal correspondiente a $\mathrm{id}_A$.

Entonces para cualquier espacio de $B$, y cualquier $V\in F(B)$, no hay una única morfismos $f\colon A\to B$ tal que $F(f)(V)=U$, es decir, $f^{-1}(V)=U$. Este singular morfismos es $\eta_B^{-1}(\eta_A(U))$ donde $\eta_X$ es el componente de morfismos $F(X)\to\mathrm{Hom}(X,A)$.

Esta afirmación sin duda parece poco probable, por lo que el $F$ no es representable. Sin embargo, estoy teniendo problemas para venir para arriba con un ejemplo concreto para mostrar esto no puede ser.

Answer 1

Deje $O : \mathbf{Haus}^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$ ser el functor que envía un espacio de Hausdorff $X$ para el conjunto de subconjuntos abiertos de $X$. A continuación, $O (1)$ tiene dos elementos, por lo que cualquier representación de $O$ debe ser un punto del espacio. Pero el sólo de dos puntos, espacio de Hausdorff es discreto – que claramente no funciona.