¿Versiones de la función gamma de identites combinatoria?

Question

Podemos extender el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$ $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ mediante la definición de $\binom{x}{y}=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(y+1)\Gamma(x-y+1)}$. ¿Realice las identidades coeficiente binomial estándar tienen generalizaciones a este ajuste? Como dos ejemplos simples, tenemos

$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$ and $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$

¿Qué $\int_0^x \binom{x}{y} dy$ y $\int_0^x \binom{x}{y}^2 dy$, y son análogos al caso discreto las respuestas? ¿Hay alguna significación combinatoria que podemos dar a estas integrales? ¿Ha esto se ha probado ya?

Answer 1

El capítulo 5.5 de Hormigón Matemáticas explica la generalización de coeficiente binomial identidades a la función Gamma. No hablar de las dos integrales que usted menciona, sin embargo.

Haciendo un poco de pensar en el mío propio, si $n$ es un entero positivo, entonces $$\int_{z=0}^n \binom{n}{z} dz = \int_{z=0}^n \frac{n! dz}{\Gamma(1+z) \Gamma(n+1-z)}$$ $$\int_{z=0}^{n} \frac{n! dz}{(n-z)(n-1-z) \cdots (1-z) \Gamma(1-z) \Gamma(1+z)}.$$

Tenemos $\Gamma(1+z) \Gamma(1-z) = \pi z/\sin (\pi z)$, si no he hecho ningún tonto errores, por lo que esta es $$\int_{0}^n \frac{ n! \sin (\pi z) \ dz}{\pi z (n-z)(n-1-z) \cdots (1-z)}.$$

Sospecho que esta integrando no tiene una escuela primaria de la anti-derivada, porque me recuerda a $\int \sin t \ dt/t$. Pero podría haber algún truco especial que permita calcular la integral entre estos límites.