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¿Por qué está relacionado el concepto de números transcendental con coeficientes racionales? ¿Por qué no real ni complejo coeficientes?

He leído esto:

En matemáticas, un trascendental es un número (posiblemente complejas) número de que no es algebraico, es decir, no es una raíz de un no-cero ecuación polinómica con coeficientes racionales.

¿Por qué el concepto de trascendental números se anexa a los polinomios con coeficientes racionales? ¿Por qué no los polinomios con coeficientes reales o complejos? Por los pocos matemáticos lecturas que he hecho, me sentía que no es seguro para trabajar con reales o números complejos en algunos conceptos matemáticos, supongo que esto de la seguridad (en el caso de la trascendental números) sólo puede ser otorgado con números racionales.

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Julián Aguirre Puntos 42725

Cualquier número real $a$ es la solución de una ecuación polinómica con coeficientes reales: $$ x-a = 0. $$

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jmans Puntos 3018

Un algebraica de números, equivalentemente, puede ser definida como una raíz de un polinomio cuyos coeficientes son todos los números enteros. Así, los números algebraicos están estrechamente relacionados con los números enteros, sin duda, una interesante clase de objetos de estudio.

Cuando se extienda más allá de los números racionales, es muy natural ver a los números que aparecen como tales raíces, antes de mirar a los reales (al menos a partir de una expresión algebraica punto de vista). La razón es que los reales requieren de una analítica de la extensión de los racionales, mientras que los números algebraicos son algebraicas (es decir, no analítica).

Por último, no tiene sentido preguntarse acerca de reales o números complejos que son raíces de polinomios con coeficientes reales o complejos: todos los números reales (resp. número complejo) es la raíz de un polinomio lineal con el real (resp. complejo) de los coeficientes.

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