Suma de los ceros de la función de Bessel

Question

Me encontré con la siguiente suma en mi trabajo sobre la suma infinita de la función de los ceros de las funciones de Bessel.

$$\displaystyle I_0=\sum_{\ell=2}^{\infty}log\left(\frac{j^2_{\nu,\ell}-j^2_{\nu,1}}{j^2_{\nu,\ell}+j^2_{\nu,1}}\right),$$

donde $(j_{\nu,l})$ es la secuencia de ceros de la función de Bessel de primer orden $J_\nu$ con $\nu\geq 1/2$ .\

¿Alguien tiene alguna idea de cómo evaluar esto en términos del orden y del primer cero de la función de Bessel? o al menos un límite superior explotable.

Answer 1

Para estimar $I_0$ , establezcamos $\displaystyle M(t):=\log\left(\frac{t^2-1}{t^2+1}\right)$ Por lo tanto $\displaystyle I_0:=\sum_{\ell=2}^{\infty}M\left(\frac{j_{\nu,\ell}}{j_{\nu,1}}\right)$ . Ahora bien, fíjate en que $M$ es no decreciente para $t\geq 1$ y $\displaystyle\frac{j_{\nu,\ell}}{j_{\nu,1}}\geq 1$ para todos $\ell\geq 2$ para que

$$\begin{equation}\displaystyle I_0\leq \frac{\pi}{j_{\nu,1}}\int_{j_{\nu,2}/j_{\nu,1}}^\infty M(t)\,\textrm{d}t, \end{equation}$$ donde hemos utilizado que $j_{\nu,k+1}-j_{\nu,k}\leq \pi$ para $\nu\geq 1/2$ .

Por otro lado, para $a\geq 1$ $$\int_a^\infty M(t)\textrm{d}t=\log\left(\frac{a-1}{a+1}\right)+a\log\left(\frac{a^2+1}{a^2-1}\right)+2\tan^{-1}(a)-\pi$$